Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.7 Aufgaben und Probleme 43
2.7 Aufgaben und Probleme zu Kapitel 2
Aufgabe 2.1:
Suchen und beweisen Sie (mindestens) vier nichttriviale zahlentheoretische Eigenschaften
der Fibonacci-Folge (f n ) n , die rekursiv durch f 1 : = 1 , f 2 : = 1 und
f n+2 : = f n+1 + f n für alle n ∈ N 1 definiert wird.
[Hinweis: “Trivial” wäre, dass (f n ) n eine monoton wachsende Folge natürlicher
Zahlen ist. Es folgen einige Suchvorschläge: Partialsummen der Folgenglieder und
ihrer Quadrate, Darstellung der Quadrate der Folgenglieder, ggT benachbarter
Glieder, Teilbarkeit durch Primzahlen, Reste bei Division durch feste natürliche
Zahlen.]
Aufgabe 2.2:
Drücken Sie für ungerades n ∈ N 1 die Anzahl
A(n) : = card { (x, y) ∈ N 2 1 ; n = x 2 − y 2}
mit Hilfe einer zahlentheoretischen Funktion aus.
Aufgabe 2.3:
Es sei F m : = 2 2m + 1 für m ∈ N. Beweisen Sie, dass ggT(F m , F n ) = 1 für alle
m, n ∈ N mit m < n gilt.
[Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass F m Teiler von F n − 2 ist.]
Aufgabe 2.4:
Berechnen Sie d : = ggT(323, 391) und stellen Sie d als Linearkombination von
323 und 391 dar.
Aufgabe 2.5:
Berechnen Sie für m, n ∈ N 1 den größten gemeinsamen Teiler von ∑ m−1
k=0 9 · 10k
und ∑ n−1
k=0 9 · 10k .
Aufgabe 2.6:
a) Ein “Schnellrechner” fordert jemand auf, sich eine dreistellige Zahl zu merken,
sie mit 143 zu multiplizieren und die letzten drei Ziffern des Ergebnisses zu