Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

78 Aufgaben und Probleme 3.7
n ∈ I}, v : = kgV(I) : = min {d ∈ N 1 ; n | d für alle n ∈ I} und µ die Möbius-
Funktion. Beweisen Sie die folgenden Identitäten:
({ }) ({ })
i) kgV v
k ; k ∈ I = kgV k
t ; k ∈ I = v t ,
ii) ∏ ( )
µ 2 v
= ∏ ( ) ( )
µ
k
2 k
= µ
t
2 v
.
t
k∈I
k∈I
[Hinweis: Verwenden Sie die formalen Darstellungen aller beteiligten Zahlen.]
Aufgabe 3.13:
Es seien m, n ∈ N 1 mit n < m und p ∈ P. Mit β p (m, n) werde die Anzahl der
“Borgestellen” (bzw. der “Überträge”) bei der Subtraktion von m und n im p-
adischen Zahlensystem bezeichnet. Zeigen Sie im Anschluss an Aufgabe 3.11, dass
((
ν m
))
( )
m
p = β
n p (m, n) gilt, wobei
n =
m!
die Binomialkoeffizienten sind.
n! (m−n)!
[Hinweis: Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen q p (m − n), q p (m), q p (n)
und β p (m, n) her.]
Aufgabe 3.14:
m∏ (
a) Bestimmen Sie alle m ∈ N 1 mit 2 ∤ m
)
k .
( k=0
)
2n
b) Beweisen Sie, dass
n für jedes n ∈ N1 gerade ist.
[Hinweis: Bei a) können Sie das Ergebnis von Aufgabe 3.13 verwenden.]
Aufgabe 3.15:
Zeigen Sie, dass p 2m+2 < p 1 p 2 · · · p m für alle m ∈ N 3 gilt.
[Hinweis: Betrachten Sie für m ∈ N 4 die p m Zahlen kp 1 p 2 · · · p m−1 − 1, k =
1, . . . , p m , und schließen Sie ähnlich wie bei dem Beweis von Euklid für die
Unendlichkeit von P, dass π(p 1 · · · p m ) > 2m + 1 ist.]
Aufgabe 3.16:
Beweisen Sie, dass es zu jedem n ∈ N 31 ein m ∈ N 2 \P mit m < n und ggT(m, n) =
1 gibt.