Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

86 Restklassen 4.2
Es gilt 1 ∈ M, weil f : A 2 → E 1 mit E 1 = : {a} wegen f(0) = a = f(1) nicht
injektiv ist.
Es sei m ∈ M, f 1 : A m+2 → E m+1 und b : = f 1 (m + 1). Gibt es ein j ∈ A m+1 mit
f 1 (j) = b, so ist f 1 nicht injektiv. Andernfalls stellt f 1 | Am+1
: A m+1 → E ′ m mit
E ′ m : = E m+1 \ {b} nach Induktionsvoraussetzung eine nicht injektive Abbildung
dar, wobei f 1 | Am+1
m + 1 ∈ M und es folgt M = N 1 .
die “Einschränkung von f 1 auf A m+1 ” bezeichnet. Damit ist
ii) Surjektivität impliziert Injektivität (vollständige Induktion, r1):
Es sei
M : = {n ∈ N 1 ; Für jede Menge E n mit card E n = n sind alle surjektiven
Abbildungen g : A n → E n injektiv } .
Wegen card A 1 = 1 gilt 1 ∈ M. Ist m ∈ M und stellt g 1 : A m+1 → E m+1 eine
surjektive Abbildung dar, so werde c : = g 1 (m) und E m ′′ : = E m+1 \ {c} gesetzt.
Dann ist auch g 1 | Am : A m → E m ′′ surjektiv. Da card E m
′′ = m gilt, ergibt die
Induktionsvoraussetzung, dass g 1 | Am injektiv ist. Wegen g(j) ≠ c für alle j ∈ A m
ergibt sich die Injektivität von g 1 . Damit ist m + 1 ∈ M, sodass M = N 1 folgt.
iii) Injektivität impliziert Surjektivität (Kontraposition, a1):
An Stelle der Aussage, dass alle injektiven Abbildungen g : A n → E n surjektiv
sind, beweisen wir die dazu äquivalente Implikation, dass alle nicht surjektiven
Abbildungen g : A n → E n nicht injektiv sind. Ist g nicht surjektiv, so gibt
es ein d ∈ E n mit d ∉ g(A n ). Nach i) ist dann g : A n → E n \ {d} wegen
card E n \ {d} = n − 1 nicht injektiv.
Satz über vollständige Restsysteme
Ist R eine Teilmenge von Z, so ergibt sich jede der folgenden drei Aussagen
aus den beiden anderen, wobei die ersten beiden der Definition des vollständigen
Restsystems modulo m entsprechen:
a) Je zwei Zahlen aus R sind modulo m zueinander inkongruent.
b) Jede ganze Zahl ist modulo m kongruent zu einer Zahl aus R.
c) R enthält genau m Elemente.