Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

122 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 4.8
Definition der Primitivwurzel
Sind a ∈ Z und m ∈ N 2 mit ggT (a, m) = 1, so heißt a Primitivwurzel (oder
primitive Wurzel) modulo m, wenn ord m (a) = ϕ(m) gilt.
Als Beispiel betrachten wir das auf Seite 85 angegebene vollständige Restsystem
R 7 ′ = {0, 3, 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 } . Wegen 3 1 ≡ 3 (mod 7), 3 2 ≡ 2 (mod 7), 3 3 ≡
6 (mod 7), 3 4 ≡ 4 (mod 7), 3 5 ≡ 5 (mod 7) und 3 6 ≡ 1 (mod 7) ist 3 Primitivwurzel
modulo 7.
Satz über Primitivwurzeln
a) Für jedes m ∈ {2, 4} ∪ { c p k ; c ∈ I 2 , p ∈ P 3 und k ∈ N 1
}
gibt es Primitivwurzeln
modulo m.
b) Ist g eine Primitivwurzel modulo p für p ∈ P 3 , so sei
{
0 im Falle g p−1 ≢ 1 (mod p 2 ),
t : =
1, wenn g p−1 ≡ 1 (mod p 2 ) gilt.
Dann ist g + p t Primitivwurzel modulo p k für jedes k ∈ N 2 . Stellt h eine
Primitivwurzel modulo p k dar, so ist die ungerade der Zahlen h und h + p k
eine Primitivwurzel modulo 2 p k .
Beweis (direkt, finite und vollständige Induktion, a2):
a) Für m ∈ {2, 4} ist m − 1 eine Primitivwurzel modulo m. Es wird nun zuerst
gezeigt, dass zu jedem p ∈ P 3 Primitivwurzeln existieren.
Es sei D p : = { δ ∈ I p ; Es gibt a ∈ A ∗ p mit δ = ord p (a) } , und für τ : = kgV (D p )
r∏
sei τ = : die Primpotenzdarstellung. Dann existiert zu jedem s ∈ I r ein
k=1
q e k
k
δ s ∈ D p mit qs
es | δ s . Es gibt also Zahlen c s ∈ N 1 und a s ∈ A ∗ p mit c s qs es = δ s =
ord p (a s ) . Die Formeln (4.16) und (4.17) des Satzes über Ordnungsbeziehungen
(Seite 121) ergeben nacheinander ord p (a cs
s ) =
δ s
ggT (c s , δ s ) = qes s
und mit finiter
Induktion ord p (a c 1
1 · · · a cr
r ) = τ. Wegen δ | τ für jedes δ ∈ D p gilt x τ ≡ 1 ( mod p)
für alle x ∈ A ∗ p. Aufgrund des Polynomkongruenzsatzes von Lagrange (Seite 103)
ist dann p − 1 ≤ τ. Der Satz über die Ordnung (Seite 120) ergibt τ | (p − 1) und
damit τ = p − 1, d.h. a c 1
1 · · · a cr
r
stellt eine Primitivwurzel modulo p dar.