Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

102 Kongruenzen mit einer Unbekannten 4.6
Nun sei d ein Teiler von b und es werde a = : a 1 d, m = : m 1 d, b = : b 1 d gesetzt.
Dann ist ggT (a 1 , m 1 ) = 1, und der Satz über Kongruenzkürzung (Seite 91) ergibt,
dass aus a x ≡ b (mod m) die Kongruenz a 1 x ≡ b 1 (mod m 1 ) folgt, die nach i)
genau eine Lösung x 1 modulo m 1 besitzt. Alle Zahlen, die Lösungen von a x ≡
b (mod m) sind, genügen also der Kongruenz x ≡ x 1 (mod m 1 ) . Modulo m
ergeben sich damit die d inkongruenten Lösungen x 1 , x 1 +m 1 , . . . , x 1 +(d−1) m 1 .
Im Zusammenhang mit dem letzten Satz spielen die folgenden beiden Begriffe bei
einigen Herleitungen von Sätzen und bei Lösungen von Problemen eine wichtige
methodische Rolle, wenn alle Elemente von A ∗ m für m ∈ P 3 “gleichberechtigt”
verknüpft sind - wie z. B. im ersten Teil des nächsten Satzes.
Definition des reziproken Restes und der Assoziiertheit
Es sei (a, m) ∈ Z × N 2 mit ggT (a, m) = 1. Eine Zahl a ′ ∈ Z heißt zu a
reziproker Rest modulo m, wenn a a ′ ≡ 1 (mod m) gilt. Ist ein reduziertes
Restsystem R m vorgegeben, so wird anstelle des eindeutig bestimmten a ′ ∈
R m auch a −1 oder 1 a geschrieben.
Zwei Zahlen a, a ′ ∈ Z mit ggT (a a ′ , m) = 1 heißen assoziiert modulo m, wenn
sie a a ′ ≡ 1 (mod m) erfüllen.
Obwohl der folgende Satz nur für Primzahlen gilt, stellt er doch wegen des starken
Wachsens der linken Seiten kein sinnvolles Primzahlkriterium dar. Den zweiten
Teil werden wir zum Beweis des Zweiquadratesatzes von Euler (Seite 141) verwenden.
Wilsonscher Fakultätensatz 5
Für ungerade Primzahlen p und nur für Primzahlen p gilt
a) (p − 1)! ≡ −1 (mod p) und
((
b) p−1
) ) 2 p+1
2 ! ≡ (−1) 2 (mod p).
5 Der nach Sir John Wilson (1741-1793) benannte Wilsonsche Satz wurde zuerst 1770
von dem in Cambridge wirkenden Mathematiker Edward Waring (1734-1798) veröffentlicht.