Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.4 Quadratische Zahlkörper 175
(1) das “neutrale Ideal” darstellt. Nennt man ein Ideal c ≠ (0) Teiler des Ideals
a, wenn es ein Ideal b mit a = b c gibt, so ist ein Ideal p ≠ (1) genau dann ein
Primideal, wenn p nur die Ideale (1) und p als Teiler hat.
Für die Ringe der ganz-algebraischen Elemente in beliebigen algebraischen Zahlkörpern
konnte Dedekind 1894 beweisen, dass sich jedes von (1) verschiedene
Ideal eindeutig als Produkt von Primidealen darstellen lässt.
Um diese Zerlegung für R d,1 nutzen zu können, wird jedem Element a von R d,1
das Hauptideal (a) zugeordnet, wobei zwei Hauptideale (b) und (c) genau dann
übereinstimmen, wenn b und c assoziiert sind.
Ist R d,f eine beliebige Ordnung von Q (√ d ) , so lässt sich jedes Ideal von R d,f in
der Form
(5.34)
a =
{
a ′ , γ (b + √ )}
D
2
f
Z
b 2 ≡ D f (mod 4a ′ ), γ ∈ N 1 und γ | a ′
mit a ′ : = min (a ∩ N 1 ) , b ∈ Z,
schreiben. Für Primzahlen p ∈ P ⊂ R d,1 kann dann mit Hilfe des Legendre-
Symbols die Zerlegung von (p) als Produkt von Primidealen explizit angegeben
werden.
Theorem über Darstellungen als Primidealprodukt
Es sei D die Diskriminante von Q (√ d ) und p ∈ P.
a) Ist p | D, so gilt (p) = p 2 mit p : = {p,1+ρ} Z für p = 2, D ≡ 12 (mod 16),
und p : = {p, ρ} Z sonst.
b) Im Falle ( D
p
)
= −1 stellt (p) ein Primideal dar.
( ) { }
D
c) Für
p = 1 ergibt sich (p) = p1 p 2 mit p 1 : = p, b+√ D
und p
2
2 : =
Z
{ }
≠ p 1 , wobei b eine Lösung der Kongruenz b 2 ≡ D (mod 4p)
ist.
p, −b+√ D
2
Z
Die Idealklassengruppe
Ist A eine nicht leere Teilmenge von Q (√ d ) und c ∈ Q (√ d ) \ {0}, so sei im
Folgenden
cA : =
{x ∈ Q ( √ ) }
d ; Es gibt ein y ∈ A mit x = cy und