Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

146 Darstellung als Summe von Quadraten 5.2
den Dreiquadratesatz skizzieren wir eine Beweisidee von Dirichlet, der ternäre
quadratische Formen und die von ihm stammende Aussage des Theorems über
Primzahlen in arithmetischen Folgen (Seite 71) verwendet. Die hier zugrunde
gelegte vereinfachte Version wurde 1909 von E. Landau 3 in dem Lehrbuch [12]
veröffentlicht. Die Ergebnisse von Gauß über binäre quadratische Formen behandeln
wir dann im nächsten Abschnitt.
Dreiquadratesatz (Legendre, 1798)
Q 3 = {n ∈ N 1 ; Es gibt kein Paar (a, b) ∈ N 2 mit n = 4 a (8 b + 7)} .
Beweisskizze (7 Schritte):
i) Bezeichnung der ternären quadratischen Formen und ihrer Determinanten
Sind a ik ∈ Z für i, k ∈ I 3 und ist a ik = a ki für 1 ≤ i < k ≤ 3, so wird
3∑ 3∑
F : Z 3 → Z, (x 1 , x 2 , x 3 ) ↦→ a ik x i x k
i=1 k=1
ternäre quadratische Form (im Folgenden kurz Form) genannt.
Mit det (a ik ) : = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 −
a 13 a 22 a 31 werde die Determinante der Form F bezeichnet.
ii) Definition der Äquivalenz von Formen und Feststellung einer Äquivalenzrelation
Sind F und G Formen, so heißt F zu G äquivalent, wenn es Zahlen c ik ∈ Z, i, k ∈
I 3 , mit det (c ik ) = 1 gibt, sodass mit der Abbildung
( 3∑
)
3∑ 3∑
γ : Z 3 → Z 3 , (y 1 , y 2 , y 3 ) ↦→ c 1l y l , c 2l y l , c 3l y l
l=1 l=1 l=1
die Abbildungsgleichheit G = F ◦ γ gilt, wobei ◦ die Hintereinanderausführung
von Abbildungen bezeichnet.
Die Äquivalenz von Formen stellt eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Formen
dar, d. h. es gilt die Reflexivität (Jede Form F ist zu sich selbst äquivalent),
3 Edmund Landau (1877-1938) wirkte in Göttingen.