Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

118 Potenzreste 4.7
⎧
m − 1
(
1 (
m 2 − 1 ) ⎪⎨ 1 + 2 m − 1 )
=
4
4
8
⎪⎩ m + 1
(
1 + 2 m − 3 )
4
4
für m ≡ 1 (mod 4),
für m ≡ 3 (mod 4).
Da beide Klammerfaktoren ungerade natürliche Zahlen sind, gilt 1 8 (m2 − 1) ≡
[ m+1
]
4 (mod 2).
Das folgende Beispiel für die Berechnung eines Legendre-Symbols mit Hilfe von
Jacobi-Symbolen stammt aus [1]. Dort tritt auf Seite 452 nach dem zweiten
Gleichheitszeichen ein Fehler auf, der den Endwert falsch werden lässt. Wir geben
hier und bei dem Beweis des nächsten Satzes über den Gleichheitszeichen die letzte
Ziffer der jeweils verwendeten Formel an, nämlich 6 für die obere Kongruenzinvarianz,
7 für obere Multiplikativität, 0 für das quadratische Reziprozitätsgesetz,
1 für den ersten Ergänzungssatz und 2 für den zweiten Ergänzungssatz.
( 20002
) (
7 2
)( 10001
) (
20 134353
) (
= = (+1) (+1) 6 4340
)
7
= =
134353 134353 134353 10001 10001
( 4
)( 1085
) (
70 10001
) (
= (+1) (+1) 6 236
) (
7 4
)( 59
)
70
= =
=
10001 10001 1085 1085 1085 1085
( 1085
) (
(+1) (+1) =
6 23
) (
0 59
) (
= (−1) 6 13
) (
0 23
)
= − = − (+1) =
6
59
59 23
23 13
( −3
) (
7 −1
)( 3
) (
10 13
) (
− = −
= −(+1) (+1) 6 1
= − = −1.
13 13 13
3
3)
Da 134353 ∈ P gilt, ist 20002 quadratischer Nichtrest modulo 134353.
Aus den beiden Ergänzungssätzen kann man entnehmen, dass −1 beziehungsweise
2 genau für die Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4) beziehungsweise mit
p ≡ ±1 (mod 8) quadratischer Rest ist. Der folgende Satz über das Jacobi-
Symbol ermöglicht es, diese Feststellung über die Restklassen der Primzahlen,
für die eine gegebene ganze Zahl quadratischer Rest ist, zu verallgemeinern.
Satz über untere Kongruenzinvarianz
Ist a ∈ Z und sind m, n ∈ U mit ggT (a, m n) = 1 und m ≡ n (mod 4 |a|),
so gilt
( a
( a
(4.13)
= .
m)
n)