Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.8 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 129
b) Die Bedingung d | ind a aus i) ist äquivalent zu ϕ(m) ind a ≡ 0 (mod ϕ(m))
d
und damit zu a ϕ(m)
d ≡ 1 (mod m).
In A ϕ(m) ist die Anzahl der durch d teilbaren Elemente gleich ϕ(m) . Wegen a) ist
d
dieses auch die Anzahl der n-ten Potenzreste in jedem reduzierten Restsystem
modulo m.
c) Wird δ : = ord m (a) gesetzt, so ist δ der kleinste Teiler von ϕ(m) mit a δ ≡
1 (mod m). Die Kongruenz ist äquivalent mit δ ind a ≡ 0 (mod ϕ(m)), also mit
ϕ(m)
∣ ϕ(m)
δ ind a. Damit ist der größte Teiler von ϕ(m), der auch ind a teilt, d. h.
δ
es gilt ϕ(m) = ggT (ind a, ϕ(m)).
δ
d) In der Indexmenge A ϕ(m) haben die durch ϕ(m) teilbaren Zahlen die Form
ϑ ( )
ϕ(m)
ϑ
y mit y ∈ A ϕ(m)
ϑ. Die aus c) folgende Bedingung ggT
ϑ y, ϕ(m) = ϕ(m)
ϑ
ist äquivalent mit ggT (y, ϑ) = 1. Dieser Forderung genügen genau die ϕ(ϑ) Werte
y ∈ A ∗ ϑ .
Wegen des großen Nutzens der Indizes für zahlentheoretische Untersuchungen
wurde 1839 von C. G. J. Jacobi eine Sammlung von Indextafeln für alle Moduln
m unterhalb 1000, zu denen Primitivwurzeln existieren, herausgegeben. Da dieses
schon lange vergriffene Werk mit dem Titel “Canon Arithmeticus” zahlreiche
Fehler enthielt, erschien 1956 eine vollständig neu berechnete und erweiterte Ausgabe.
Die Indizes werden dabei mit Hilfe der ebenfalls abgedruckten “Numerustafeln”
bestimmt, die zu den Argumenten I ∈ I ϕ(m) die Werte N : = mod ( g I , m )
enthalten, wobei g die kleinste positive Primitivwurzel modulo m ist.
Als Beispiel folgen die Numerustafel und die Indextafel für p = 11 mit g = 2.
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I 10 1 8 2 4 9 7 3 6 5
Die Indizes sind modulo ϕ(m) “multiplikativ”: Aus a ≡ g ind a (mod m) und b ≡
g ind b (mod m) folgt nämlich a b ≡ g ind a+ind b (mod m), also ind (a b) ≡ ind a +
ind b (mod ϕ(m)). Deshalb heißen die Indizes auch diskrete Logarithmen.