Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

106 Potenzreste 4.7
Wenn x ≡ 3 (mod 8) erfüllt ist, gilt auch x ≡ 3 (mod 4). Damit ist m 1 =
8, m 2 = 5, m 3 = 3, m = 120, M 1 = 15, M 1 ′ ≡ 7 (mod 8), M 2 = 24, M 2 ′ ≡
4 ( mod 5), M 3 = 40, M 3 ′ ≡ 1 ( mod 3) und x 0 = 15·7·3+24·4·1+40·1·1 = 451.
Also ist x ∈ Z genau dann eine Lösung des Ausgangssystems, wenn x ≡ 451 ≡
91 (mod 120) gilt.
4.7 Potenzreste
Ein großer Teil der grundlegenden Ergebnisse über die speziellen Polynomkongruenzen
x n − a ≡ 0 (mod p) wurde zum ersten Mal von Gauß in [9] im dritten
Abschnitt mit dem Titel “Von den Potenzresten” und im vierten Abschnitt über
Kongruenzen zweiten Grades dargestellt. Wir behandeln zunächst die “quadratische”
Theorie, weil sie weitgehend abgeschlossen ist. Außerdem spielen einige
ihrer Resultate und Methoden auch beim Problemlösen eine Rolle.
Definition des Potenzrestes und des Potenznichtrestes
Es seien m, n ∈ N 2 . Eine Zahl a ∈ Z mit ggT (a, m) = 1 heißt n-ter Potenzrest
modulo m, wenn es ein x ∈ Z gibt, sodass x n ≡ a (mod m) gilt. Andernfalls
heißt a n-ter Potenznichtrest modulo m.
Insbesondere spricht man für n = 2 von quadratischen, für n = 3 von kubischen
und für n = 4 von biquadratischen Resten bzw. Nichtresten.
Hat m die Primpotenzdarstellung m =
r ∏
k=1
q e k
k
, so ergeben der Satz über Kongruenzvergröberung
(Seite 91) und der Satz über Kongruenzzusammenfassung (Seite
92), dass f(x) ≡ 0 (mod m) genau dann gilt, wenn f(x) ≡ 0 (mod q e k
k ) für
k = 1, . . . , r erfüllt ist.
Bei Potenzresten kann der Exponent e k für q k = 2 mindestens auf 3 und für
q k ∈ P 3 auf 1 erniedrigt werden. Die Beweismethode des folgenden Satzes über
quadratische Reste lässt sich auch bei den übrigen Potenzresten und sogar bei
f(x) mit Fallunterscheidung bezüglich f ′ (x) anwenden. Weitere Ergebnisse über
Potenzreste höheren als zweiten Grades erhalten wir mit Hilfe von “Indizes” im
nächsten Abschnitt.