Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

8 Grundlegung 1.1
Bei all diesen Schwierigkeiten überrascht es nicht, dass viele Mathematikstudierende
die Peano-Axiome lediglich glauben. Insbesondere ist ihnen nicht klar,
was die Nachfolgerabbildung bedeutet und wieso das Induktionsaxiom gültig sein
soll, das unendliche Mengen vergleicht, während unser Universum als endlich angenommen
wird.
Obwohl zum Verständnis der elementaren Zahlentheorie solche Kenntnisse der
Grundlagen der Mathematik nicht unbedingt nötig sind, soll doch zunächst ein
alternativer Zugang skizziert werden, der diese Fragen klärt und der insbesondere
die beiden wichtigen Beweisverfahren, die meistens “Minimumprinzip” und
“Induktionsprinzip” heißen, als einprägsam hergeleitete Sätze verstehen lässt.
Die zugehörige Basistheorie hat den Titel “Zahlgenese”, weil sie im Unterschied
zum wissenschaftsorientierten “Zahlensystem” die Schwierigkeiten der Lernenden
in den entsprechenden Altersstufen berücksichtigt. Unter anderem wird anstelle
der didaktisch fragwürdigen “axiomatischen Methode” von David Hilbert
(1899) die “Postulat-Methode” von Euklid (≈ 325 v. Chr.) verwendet. Das
Hypertext-Buch Zahlgenese [16] ist im Mathkompass [14] erschienen.
Ausgehend von dem durch Georg Cantor 1874 eingeführten Mengenbegriff
wird zuerst die “Gleichmächtigkeit” von zwei Mengen M 1 und M 2 dadurch definiert,
dass es eine bijektive Abbildung von M 1 auf M 2 gibt. Die ersten beiden
der folgenden sieben Postulate beruhen einerseits auf Einsichten, die die Menschheit
im Laufe von Jahrtausenden gewonnen hat und die in angepasster Form
schon Kindern in der Grundschule vermittelt werden. Andererseits definieren sie
implizit die “C-Mengen”, die für diesen Aufbau grundlegend sind.
Kardinalzahlpostulate
a) Jede C-Menge M hat eine Eigenschaft - Kardinalzahl von M genannt und
card M geschrieben -, die sich für alle C-Mengen A und B folgendermaßen
vergleichen lässt:
Definitionsgemäß ist card A = card B, wenn A und B gleichmächtig sind.
Definitionsgemäß gilt card A ≤ card B, wenn B eine zu A gleichmächtige
Teilmenge enthält.
Definitionsgemäß ist card A < card B, wenn card A ≤ card B gilt, aber nicht
card A = card B erfüllt ist.
b) Für je zwei C-Mengen A, B gilt genau eine der Beziehungen card A =
card B oder card A < card B oder card B < card A.