Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

1.1 Grundlegung 9
Wie üblich werden die Zeichen “≤” bzw. “ card A verwendet und entsprechend gelesen.
Erzeugungspostulate
a) Die leere Menge ∅ ist eine C-Menge mit 0 : = card ∅.
b) Alle Mengenbildungen, die für Mengen im Sinne von Cantor gebraucht
werden (Klammerung, Teilmenge, Durchschnitt, Differenz, Vereinigung, Produkt
und Potenz), ergeben zu C-Mengen wieder C-Mengen.
Die “natürlichen Zahlen” sind die Kardinalzahlen der “endlichen Mengen”, deren
korrekte Definition unabhängig voneinander von Bernard Bolzano (1851) und
R. Dedekind 1 (1888) gefunden wurde.
Definition der endlichen und der unendlichen Menge
Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu keiner ihrer echten Teilmengen
gleichmächtig ist. Andernfalls heißt sie unendlich.
Zugehörigkeitspostulate
a) Jede endliche Menge ist eine C-Menge.
b) Die Zusammenfassung N (nach DIN 1302) der Kardinalzahlen aller endlichen
Mengen ist eine C-Menge.
Die meisten Mengen, die wir im täglichen Leben betrachten, sollen C-Mengen
sein. Die Zusammenfassung aller endlichen Mengen bildet keine C-Menge. Als
ausgezeichnete Vertreter (“Repräsentanten”) der endlichen Mengen verwenden
wir die “Anfänge”
A n : = {m ∈ N ; m < n} mit n ∈ N.
Die C-Menge A n heißt n-Anfang von N. Das folgende starke Postulat gibt die Erfahrung
wieder, dass die Kardinalzahl einer endlichen Menge durch “Auszählen”
bestimmt werden kann.
1 Richard Dedekind (1831-1916) wirkte in Göttingen und Braunschweig.