Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.7 Potenzreste 117
jektiv ist. Der einzige Fixpunkt P von σ liegt in S und gehört damit niemals zu
R \ G. Deshalb lässt sich R \ G als Vereinigung von disjunkten zweielementigen
Mengen der Form {X, σ(X)} schreiben. Insbesondere gilt 2 | card R \ G, sodass
card R = card G + card R \ G ≡ card G (mod 2) folgt. Damit ist ( n
m) ( m
n
)
=
(−1) card R = (−1) m − n − .
Erster Ergänzungssatz
Für jedes m ∈ U gilt
(4.11)
( −1
)
= ( −1 ) m−1
2 .
m
Beweis (direkt, r1):
Wegen (−1) h k ≡ h k (−1) (mod m) für k = 1, . . . , m − ist ( −1
m
(−1) m −.
) m∏
−
=
k=1
(−1) =
Zweiter Ergänzungssatz
Für jedes m ∈ U gilt
( 2
(4.12)
=
m) ( )[ m+1
−1 4
]
= ( −1 ) 1
8 (m2 − 1) .
Beweis (direkt, r1):
Die Vielfachen 2 k der Zahlen k ∈ I m− liegen genau dann in der oberen Resthälfte
{m − + 1, . . . , m − 1} und ergeben damit bei dem Standardhalbsystem aufgrund
des Satzes über Halbsysteme (Seite 110) ein negatives Vorzeichen, wenn m+1 ≤
4
k ≤ m−1 ist.
2
Im Fall m ≡ 1 (mod 4) sind das die m−1
gilt hier ( 2
m
)
= (−1)
m−1
4 .
Für m ≡ 3 (mod 4) sind es die m+1
4
( 2
m)
= (−1)
m+1
4 .
4
Zahlen m−1
4
+ 1, . . . , m−1
4
Zahlen m+1
4 , . . . , m+1
4
) [ m+1
]
= (−1) 4 zusammenfas-
( 2
Diese beiden Fälle lassen sich offensichtlich zu
m
sen. Wegen 1 (m+1) (m−1)
8 (m2 − 1) = ist
2·4
+ m−1
4 . Also
+ m−3 . Nun folgt
4