Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

206 Problemlösestrategien 6.3
Das dritte Beispiel belegt noch einmal die im Anschluss an Problem 63 erwähnten
“Vorteile, die sich ergeben, wenn man ein Problem nicht nur löst, sondern aus der
Lösung auch Lehren zieht”. Hier ist das Ziel die Verallgemeinerung des Problems
selbst, um Problemtypen oder “Problemketten” zu erkennen.
Problem 69
Suchen Sie unendlich viele Verallgemeinerungen von Problem 63.
Betrachten wir die Herleitung von (6.5), so bietet es sich an, die Zahl 7 in 7x 2 +y 2
und in y n+1 = 1 2 (−7x n + y n ) durch a ∈ N 1 zu ersetzen und festzustellen, unter
welchen Bedingungen sich bei dem Übergang von n zu n + 1 ein nur von a
abhängiger Faktor abspalten lässt. Für
x n+1 = 1 2 (x n + y n ) und y n+1 = 1 2 (−ax n + y n )
ist also zu untersuchen, wann ax 2 n+1+yn+1 2 ein ganzzahliges Vielfaches von ax 2 n+yn
2
darstellt. Durch Einsetzen folgt
ax 2 n+1 + yn+1 2 = 1 (
4 ax
2
n + 2ax n y n + ayn 2 + a 2 x 2 n − 2ax n y n + yn)
2
= b ( )
ax 2 n + yn
2 mit b : =
1
(a + 1).
4
Damit sind höchstens diejenigen a ∈ N 1 geeignet, für die a ≡ 3 (mod 4) gilt.
Setzen wir nun x 1 : = 1 und y 1 : = 1, so erhalten wir ax 2 1 + y1 2 = a + 1 = 4b und
x 2 = 1, y 2 = 1 − 2b. Analog zur Herleitung von (6.6) finden wir
x n+1 = x n − bx n−1 und y n+1 = y n − by n−1 für alle n ∈ N 2 .
Damit ist einerseits ggT (x n , b) = ggT (y n , b) = 1 für jedes n ∈ N 1 , und andererseits
sind alle x n und y n ungerade, wenn a ≡ 7 (mod 8) gilt. Daraus folgt wegen
ggT (x n , y n ) | 4b n , dass x n und y n teilerfremd sind. Vollständige Induktion ergibt
dann die folgenden Verallgemeinerungen von Problem 63 :
Ist a ∈ N 1 mit a ≡ 7 ( mod 8), ( so gibt es zu jedem n ∈ N 1 ein Paar (x, y) ∈ N 2 1
)
a+1 n
mit ggT (x, y) = 1, sodass 4
4 = ax 2 + y 2 gilt.
Im Anschluss an die Probleme 65 und 67 haben wir die Methode des Koeffizientenvergleichs
bei Polynomen erwähnt. Sie lässt sich durch den folgenden Koeffizientenvergleichssatz
der linearen Algebra begründen (([15], Seite 65):