Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.8 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 121
Beweis (Teil a) indirekt, sonst direkt, r1):
a) Aus a l ≡ a k ( mod m) mit 0 ≤ k < l < δ würde aufgrund des Satzes über Kongruenzkürzung
(Seite 91) a l−k ≡ 1 (mod m) mit 0 < l − k < δ im Widerspruch
zur Definition von δ folgen.
b) Aufgrund des Satzes über Division mit Rest (Seite 19) gibt es jeweils genau
ein Paar (q, r) ∈ Z × A δ beziehungsweise (q ′ , r ′ ) ∈ Z × A δ mit γ = δ q + r
beziehungsweise γ ′ = δ q ′ + r ′ . Damit folgt a γ ≡ ( a δ) q
a r ≡ a r (mod m) und
a γ ′ ≡ ( a δ) q ′ a r ′ ≡ a r ′ (mod m). Also gilt a γ ≡ a γ ′ (mod m) genau dann, wenn
a r ≡ a r ′
(mod m) erfüllt ist, d.h. nach a), wenn r und r ′ gleich sind.
c) Aus a ϕ(m) ≡ 1 (mod m) und b) mit γ = ϕ(m), γ ′ = 0 folgt δ | ϕ(m).
Satz über Ordnungsbeziehungen
a) Für jedes n ∈ N 1 gilt
(4.16) ord m (a n ) =
ord m (a)
ggT (n, ord m (a)) .
b) Ist außerdem b ∈ Z mit ggT (b, m) = 1 und ggT (ord m (a), ord m (b)) = 1,
so folgt
(4.17) ord m (a b) = ord m (a) ord m (b).
Beweis (direkt, a1):
a) Es seien s : = ord m (a n ) , t : = ord m (a), d : = ggT (n, t), n ′ : = n d und t ′ : = t d .
Es gilt (a n ) s ≡ a n s ≡ 1 ( mod m). Der Satz über die Ordnung (mit γ ′ = 0) liefert
t | (n s), also t ′ | (n ′ s). Aufgrund des Produktteilersatzes (Seite 23) und wegen
ggT (n ′ , t ′ ) = 1 folgt t ′ | s.
Analog erhält man (a n ) t ′ ≡ a d n ′ t ′ ≡ a t n ′ ≡ (a t ) n ′ ≡ 1 (mod m), also s | t ′ und
zusammengefasst s = t ′ = t d .
b) Es seien u : = ord m (a), v : = ord m (b) und w : = ord m (a b). Aus 1 ≡ (a b) w v ≡
a v w b v w ≡ a v w (b v ) w ≡ a v w (mod m) folgt u | (v w), und wegen ggT (u, v) = 1
gilt u | w. Mit 1 ≡ (a b) w u ergibt sich analog v | w und damit (u v) | w.
Außerdem ist (a b) u v ≡ (a u ) v (b v ) u ≡ 1 (mod m). Also folgt w | (u v) und zusammengefasst
w = u v.