Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.5 Die Eulersche ϕ-Funktion 99
Unabhängig von ihm wendete Dirichlet 1828 die Beweisstrategie an, die wir
im Anschluss an [13] bei dem Problemlösen Invarianzstrategie nennen wollen.
Fermatscher Kongruenzsatz (1640)
Für alle (a, p) ∈ Z × P ist a p ≡ a (mod p).
Beweis (Fallunterscheidung, vollständige Induktion, a1):
i) Für a ∈ N 1 wird die Aussage mit vollständiger Induktion gezeigt. Dazu sei M
: = {b ∈ N 1 ; b p ≡ b (mod p)} . Wegen 1 p ≡ 1 (mod p) gilt 1 ∈ M. Für beliebiges
m ∈ R ergibt die Binomialformel (3.23) zunächst (1 + m) p = ∑ (
p p
k=0 k)
m k
( .
)
p
Wegen
k =
p!
( ) (
p
gilt k
k! (p−k)! k = p p−1
k−1)
für jedes k ∈ Ip−1 . Mit dem Produktteilersatz
(Seite 23) folgt p | ( p
k)
. Für m ∈ M gilt nun (1 + m) p ≡ m 0 + m p ≡
1 + m (mod p), sodass auch m + 1 in M liegt. Der Induktionssatz (Seite 12)
ergibt damit M = N 1 .
ii) Es sei a ∈ Z \ N , also −a ∈ N 1 . Im Falle p = 2 ist −1 ≡ 1 (mod 2),
sodass a 2 = (−a) 2 ≡ −a ≡ a (mod 2) wegen i) gilt. Für p ∈ P 3 ergibt i) mit
(−1) p ≡ −1 (mod p) die Kongruenzkette a p ≡ −(−a) p ≡ −(−a) ≡ a (mod p).
Wegen 0 p ≡ 0 (mod p) gilt der Satz auch für a = 0.
Kongruenzsatz von Euler (1760)
Für alle (a, m) ∈ Z × N 1 mit ggT(a, m) = 1 gilt
(4.2) a ϕ(m) ≡ 1 (mod m).
Beweis (direkt, a1):
Es sei n : = ϕ(m) und A ∗ m = : {a 1 , . . . , a n }. Aufgrund des Satzes über modifizierte
reduzierte Restsysteme (Seite 94) ist auch {aa 1 , . . . , aa n } ein reduziertes Restsystem.
Zu jedem i ∈ I n gibt es also genau ein j ∈ I n mit a a j ≡ a i ( mod m). Damit
∏
folgt n ∏
a i ≡ n ∏
a a j ≡ a n
n a j (mod m). Die Beweismethode von (2.20) ergibt
i=1 j=1
j=1 ( n
)
∏
mit vollständiger Induktion, dass ggT a i , m = 1 ist. Der Satz über Kongruenzkürzung
(Seite 91) liefert schließlich
i=1
(4.2).