Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

196 Problemlösestrategien 6.3
n 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1 1 1 3 1 5 7 3
y 1 3 5 1 11 9 13 31
Auf den ersten Blick ist keine Gesetzmäßigkeit zu erkennen. Aber der obige “Vertrauensschutz”
erlaubt die Annahme, dass die Werte in jeder Spalte nur durch
die Zahlen in der Vorgängerspalte bestimmt sind. Als zweckmäßige Bezeichnung
bietet es sich dann an, die Lösungskomponenten als Glieder x n und y n von zwei
Folgen zu schreiben. Die “psychologische Brückenstrategie” lässt sich nun folgendermaßen
formulieren: Wenn die Lösung nicht zu schwierig ist, dann gibt es
rekursive Darstellungen
(6.4) x n+1 = ax n + by n , y n+1 = cx n + dy n mit a, b, c, d ∈ Q für alle n ∈ N 3 .
Die Tabelle zeigt, dass a, b, c und d nicht ganz unabhängig von x n und y n sein
können, weil a = b = 1 2 für n ∈ {3, 5, 8} den richtigen x n+1-Wert ergibt, während
für n ∈ {4, 6, 7, 9} nicht einmal ungerade Zahlen herauskommen. In diesen Fällen
liefert aber a = 1 2 , b = −1 2 oder a = −1 2 , b = 1 2 den korrekten x n+1-Wert. Damit
liegt die Vermutung nahe, dass sich zumindest x n+1 mit Fallunterscheidung aus
x n und y n berechnen lässt, wobei die letzten beiden Fälle noch zusammengefasst
werden können, wenn wir in (6.4) Betragsbildung zulassen.
Dieser “unnatürliche” Ansatz mit Beträgen, die wegen des Quadrierens in 7x 2 n+y 2 n
eigentlich unnötig sind, sollte zu der Idee führen, auch negative Lösungskomponenten
zuzulassen, um die obigen Fallunterscheidungen zu vermeiden. Wir versuchen
also, die vorhandenen Lösungswerte so mit Vorzeichen zu versehen, dass
die Rekursionsgleichung x n+1 = 1 2 (x n + y n ) durchgängig gilt. Da x n+1 ungerade
sein soll, muss zusätzlich x n ≡ y n (mod 4) für alle n ∈ N 3 gelten. Indem wir mit
x 3 = y 3 = x 4 = 1 beginnen, setzen wir y 4 : = −3, damit y 4 ≡ x 4 (mod 4) ist,
und fahren jeweils mit der Bildung des arithmetischen Mittels sowie der Vorzeichenanpassung
der y n fort. Dann erhalten wir die modifizierte Tabelle
n 3 4 5 6 7 8 9 10
x n 1 1 -1 -3 -1 5 7 -3
y n 1 -3 -5 1 11 9 -13 -31
Um herauszufinden, ob y n auch einer durchgängigen Rekursionsgleichung genügt,
wenden wir noch einmal eine Brückenstrategie an, indem wir überlegen, wodurch
ein Zusammenhang zwischen den Lösungspaaren von 2 n = 7x 2 n + y 2 n und 2 n+1 =