Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.4 Quadratische Zahlkörper 173
wachsend und unbeschränkt ist, existiert ein h ∈ N, sodass εd,f h < ϑ < ε h+1
d,f
woraus
(5.33) 1 < ϑ ε −h
d,f < ε d,f
folgt. Wegen der Gruppeneigenschaft von Rd,f ∗ −h
stellt ϑ εd,f
ein Element aus R d,f
∗
dar, dessen Größenbeziehungen aus (5.33) aber einen Widerspruch zur Minimalität
von ε d,f ergeben. Also muss ˜R ∗ d,f = ∅ gelten.
Da auch die kleinste mit der Kettenbruchentwicklung von √ m gewonnene Einheit
√
eine Potenz von ε d,f = : x 1 + y 1 m ist, sind ihre Komponenten obere Schranken
von x 1 beziehungsweise y 1 . Verwendet man die ganzzahlige Darstellung von
(5.24), so benötigt man also nur endlich viele Versuche, um ε d,f als Lösung von
(5.22) zu finden. Effiziente Algorithmen zur Bestimmung der Grundeinheit werden
in [2] (Seite 269 f.) hergeleitet.
Produktdarstellungen und Ideale
Jede Einheit aus Rd,f
∗ ist Teiler aller Elemente von R d,f. Bei dem Versuch, die
Elemente von ̂R d,f : = R d,f \ ( Rd,f ∗ ∪ {0}) so weit wie möglich zu zerlegen, sind
also die Einheiten als Faktoren auszunehmen. Die “unzerlegbaren Zahlen” werden
deshalb durch die folgende Definition erfasst, die auch den Begriff für die
“Zusammengehörigkeit” solcher Elemente enthält.
gilt,
Definition der irreduziblen und der assoziierten Elemente
Ein Element β ∈ ̂R d,f heißt irreduzibel, wenn β ≠ γ ζ für alle γ, ζ ∈ ̂R d,f gilt.
Zwei Elemente β, ϑ ∈ ̂R d,f heißen assoziiert, wenn es ein ε ∈ R ∗ d,f mit β = ε ϑ
gibt.
Vollständige Induktion mit der Induktionsmenge M : = {k ∈ N 1 ; Jedes β ∈ R d,f
\{0} mit Ω (|N(β)|) ∈ I k ist Produkt von irreduziblen Elementen} unter Verwendung
von (5.23) ergibt, dass jedes β ∈ ̂R d,f als Produkt von endlich vielen
irreduziblen Elementen geschrieben werden kann.
Ein Beispiel zeigt, dass es Maximalordnungen gibt, in denen die Zerlegung in irreduzible
Elemente nicht eindeutig ist: In R −5,1 gilt 9 = 3·3 = ( 2 + i √ 5 ) ( 2 − i √ 5 ) .
Mit Hilfe der Normabbildung weist man nach, dass 3, 2 + √ 5 und 2 − √ 5 paarweise
nicht assoziierte, irreduzible Elemente von R −5,1 darstellen. Deshalb sind
die beiden Zerlegungen von 9 “wesentlich verschieden”.