Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

1.4 Einführung in die elementare Zahlentheorie 15
notwendig ist. Obwohl es damals nicht üblich war, “Vermutungen” der Nachwelt
zu überliefern, können wir doch annehmen, dass schon Euklid sich die folgenden
“naheliegenden” Fragen gestellt hat, die damit die ältesten bis heute ungelösten
Probleme sind:
• Gibt es unendlich viele gerade vollkommene Zahlen
• Gibt es ungerade vollkommene Zahlen
• Gibt es unendlich viele “Primzahlzwillinge”, d. h. Primzahlpaare (p, q) mit
q − p = 2
Zu den “Merkwürdigkeiten” der elementaren Zahlentheorie gehört die häufig sehr
große Diskrepanz zwischen der Einfachheit der Formulierung eines Problems und
den enormen Schwierigkeiten, die zu seiner Lösung überwunden werden müssen.
Ein typisches Beispiel ist das folgende Problem, das P. de Fermat 3 um 1637
gelöst zu haben glaubte:
Gibt es Tripel (x, y, z) ∈ N 3 1 mit x n + y n = z n , wenn n ∈ N 3 ist
Nachdem zahlreiche Mathematiker tiefliegende Teilergebnisse gefunden hatten,
schien die vollständige Lösung längere Zeit unerreichbar. Als Andrew Wiles
1995 das Problem mit “neuester” Mathematik abschließend löste, berichteten
sogar internationale Zeitungen auf der Titelseite darüber.
Aber nur relativ wenige zahlentheoretische Probleme sind wirklich schwer, denn
in keinem anderen Teilgebiet der Mathematik gibt es so viele Ergebnisse wie in
der Zahlentheorie. Bereits 1923 umfasste das dreibändige Werk “History of the
Theory of Numbers” von Leonard E. Dickson [3], das über die elementare
Zahlentheorie berichtet, rund 1600 Seiten.
Ein weiterer Aspekt, der sich nur in der elementaren Zahlentheorie findet, ist zumindest
erwähnenswert. Gauß, dessen grundlegendes Werk Disquisitiones arithmeticae
[9] schon im Vorwort genannt wurde, bezeichnete die “höhere Arithmetik”
in der Vorrede zu jenem Buch (Seite VI) als “göttliche Wissenschaft”. Etwa
80 Jahre später konstatierte L. Kronecker 4 : “Die ganzen Zahlen hat der liebe
Gott gemacht, alles übrige ist Menschenwerk.”
3 Pierre de Fermat (1601-1665) wirkte als Jurist, Mathematiker und Parlamentsrat in
Toulouse.
4 Leopold Kronecker (1823-1891) war Mathematikprofessor in Berlin.