Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.3 Lineare diophantische Gleichung 27
d. h. es ist m + 1 ∈ M ′′ n. Also gilt M ′′ n = N 1 .
Aus (2.9) folgt mit dem Satz über Teilbarkeitsregeln (Seite 18), dass ggT(P s , Q s ) =
1 für alle Näherungsbrüche P s
Q s
gilt. Geht man umgekehrt von einem Bruch a b mit
a, b ∈ N 2 und ggT(a, b) = 1 aus, so ergibt (2.8) die Gleichung a b = P n
Q n
, wenn
[q 1 , . . . , q n ] die Kettenbruchentwicklung von a b ist. Wendet man auf a Q n = b P n
viermal den Produktteilersatz (Seite 23) an, so erhält man a|P n , P n |a, b|Q n , Q n |b
und damit P n = a und Q n = b. Ersetzt man nun in (2.9) (mit s = n) P n durch a
sowie Q n durch b, multipliziert beide Seiten mit (−1) n und führt die Abkürzungen
x : = (−1) n Q n−1 , y : = −(−1) n P n−1 ein, so stellt (x, y) eine ganzzahlige Lösung
der Gleichung
a x + b y = 1
dar. Dieses ist das einfachste Beispiel eines Typs von Gleichungen, die in der
Zahlentheorie eine wichtige Rolle spielen und die nach dem griechischen Mathematiker
Diophant (zwischen 150 und 350 n. Chr.) benannt werden, der als Erster
Methoden zur Bestimmung rationaler Lösungen von Gleichungen untersuchte.
Bezeichnung der diophantischen Gleichung
Eine Gleichung f(x 1 , . . . , x n ) = g (x 1 , . . . , x n ) mit f(x 1 , . . . , x n ) ∈ Z und
g (x 1 , . . . , x n ) ∈ Z für alle (x 1 , . . . , x n ) ∈ Z n heißt diophantische Gleichung.
Ein n-tupel (y 1 , . . . , y n ) ∈ Z n heißt Lösung der diophantischen Gleichung,
wenn f(y 1 , . . . , y n ) = g (y 1 , . . . , y n ) gilt.
Beispiele
i) a x+b y = c mit a, b ∈ Z\{0} und c ∈ Z (“Lineare diophantische Gleichung”);
ii) x 2 = 2 y 2 (Irrationalität von √ 2, siehe Seite 30);
iii) x 2 + y 2 = z 2 (“Pythagoreische Tripel”, siehe Seite 35);
iv) x 2 − my 2 = 1 mit m ∈ N 2 und √ m /∈ N 2 (“Fermat-Pell-Gleichungen” oder
“Pellsche Gleichungen”, siehe Seite 168).
Mit Hilfe der obigen Überlegungen können wir nun die lineare diophantische
Gleichung abschließend behandeln.