Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.6 Ausblick auf Resultate der analytischen Primzahltheorie 73
Das für längere Zeit beste Ergebnis in Richtung auf die Limesexistenz erzielte
Tschebyscheff durch sorgfältige Analyse von zahlentheoretischen Eigenschaften
der Binomialkoeffizienten:
Theorem über die Quotientenschachtelung (P. L. Tschebyscheff,
1852)
Es gibt ein x 0 ∈ R + , sodass
π(x) ln x
0, 92129 . . . < < 1, 0555 . . . für alle x ∈ R mit x ≥ x 0
x
erfüllt ist.
iii) Die Wende zur Funktionentheorie
Im Unterschied zu seinen Vorgängern untersuchte B. Riemann 10 die Reihe in der
von Euler entdeckten Beziehung (3.29) als Funktion auf den komplexen Zahlen
∞∑ 1
ζ : C → C, s ↦→
n . s
Sie wurde deshalb später Riemannsche Zetafunktion genannt. Zunächst ist ζ(s)
für Re s > 1 definiert, weil die Reihe dort konvergiert. Mit Methoden der “analytischen
Fortsetzung” aus der Funktionentheorie konnte Riemann ζ(s) für alle s ∈
C \ {1} konsistent erklären. Er zeigte dann, dass die Funktionen s ↦→ (s − 1) ζ(s)
und s ↦→ ζ(s) − 1 auf C komplex differenzierbar sind und bewies die folgende
1−s
merkwürdige Symmetrieaussage, wobei die Γ-Funktion durch
Γ(s) : =
∫ ∞
0
n=1
t s−1 e −t dt für alle s ∈ C mit Re s > 0
definiert und auf C \ {−n ; n ∈ N} analytisch fortgesetzt wird:
Theorem über die Riemannsche Funktionalgleichung (B. Riemann,
1859)
Die Funktion
( )
ξ : C → C , s ↦→ 1 2 s(s − 1 1)π− 2 s Γ 1
2 s ζ(s)
ist überall komplex differenzierbar, und es gilt
ξ(1 − s) = ξ(s) für alle s ∈ C .
10 Bernhard Riemann (1826-1866) wirkte in Göttingen.