Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

82 Aufgaben und Probleme 3.7
Problem 27:
Man finde alle Paare (a, b) positiver ganzer Zahlen, sodass a 2 b + a + b durch
ab 2 + b + 7 teilbar ist.
Problem 28:
Bestimme alle dreiziffrigen Zahlen, die durch 11 geteilt eine Zahl ergeben, die
gleich ist der Summe der Quadrate der Ziffern der ursprünglichen Zahl.
Problem 29:
Für jede positive ganze Zahl n bezeichne d(n) die Anzahl der positiven Teiler von
n (einschließlich 1 und n). Man bestimme alle positiven ganzen Zahlen k, für die
es ein n gibt, sodass gilt: d(n2 )
d(n) = k.
Problem 30:
Man bestimme alle Paare (a, b) ganzer Zahlen mit a, b ≥ 1, die folgende Gleichung
erfüllen: a b2 = b a .
Problem 31:
Es sei p eine ungerade Primzahl. Man bestimme die Anzahl aller Teilmengen A
der Menge {1, 2, . . . , 2p} , für die gilt:
i) A hat genau p Elemente.
ii) Die Summe aller Elemente von A ist durch p teilbar.
Problem 32:
Man zeige: Für jede natürliche Zahl n gibt es n aufeinanderfolgende natürliche
Zahlen, von denen keine eine Primzahlpotenz mit ganzzahligem Exponenten ist.
Problem 33:
Sei n eine ganze Zahl ≥ 2. Man beweise:
Wenn k 2 + k + n für alle ganzen Zahlen k mit 0 ≤ k ≤
√ n
3
eine Primzahl ist,
dann ist auch k 2 +k+n für alle ganzen Zahlen k mit 0 ≤ k ≤ n−2 eine Primzahl.