Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

138 Die Faltung zahlentheoretischer Funktionen 5.1
Die Multiplikativität von d, σ und ϕ ergibt sich jeweils aus der Produktdarstellung
im Satz über die Teileranzahlfunktion (Seite 55), im Satz über die Teilersummenfunktion
(Seite 57) und im Satz über die Eulersche ϕ-Funktion (Seite 98). Bei
der Möbiusschen µ-Funktion liefert schon die Definition mit Fallunterscheidung
die Multiplikativität. Dagegen zeigen die Werte ω(1) = Ω(1) = 0, dass ω und Ω
nicht multiplikativ sind.
Bezeichnung der Faltung und der Summatorfunktion
Sind f und g zahlentheoretische Funktionen, so heißt die zahlentheoretische
Funktion f ⋆ g : N 1 → C, n ↦→ ∑ ( n
f(d) g
d)
Faltung 2 von f und g.
d|n
Die zahlentheoretische Funktion F : = f ⋆ e mit e : N 1 → C, n ↦→ 1 heißt
Summatorfunktion von f.
Satz über die Faltung multiplikativer Funktionen
Sind f und g multiplikative Funktionen, so ist auch f ⋆ g multiplikativ.
Beweis (direkt, r1):
Es seien n 1 , n 2 ∈ N 1 mit ggT (n 1 , n 2 ) = 1. Wir zeigen zunächst einen Zusammenhang
zwischen D 1 : = {d ∈ N 1 ; d | n 1 n 2 } und D 2 : = {d ∈ N 1 ; Es gibt genau ein
Paar (d 1 , d 2 ) ∈ N 2 1 mit d = d 1 d 2 und d 1 | n 1 und d 2 | n 2 } .
Ist d ∈ D 1 , so gibt es wegen des Hauptsatzes (Seite 49) genau ein Paar (d 1 , d 2 ) ∈
N 2 1 mit d = d 1 d 2 und d 1 | n 1 und d 2 | n 2 . Also gilt d ∈ D 2 , d. h. D 1 ⊆ D 2 .
Umgekehrt folgt aus d ∈ D 2 unmittelbar d | (n 1 n 2 ), also d ∈ D 1 , d.h. D 1 = D 2 .
Damit gilt
(f ⋆ g) (n 1 n 2 ) = ∑
d|(n 1 n 2 )
= ∑
( n
f(d) g 1 n 2
)
d
f (d 1 d 2 ) g
(d 1 , d 2 )∈N 2 1
d 1 |n 1 , d 2 |n 2
( )
n1 n 2
d 1 d 2
2 Die Faltung zahlentheoretischer Funktionen heißt auch Dirichlet-Faltung.