Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.2 Darstellung als Summe von Quadraten 147
die Symmetrie (Ist F zu G äquivalent, so auch G zu F ) und die Transitivität
(Stellt H eine Form dar und ist F zu G und G zu H äquivalent, so folgt die
Äquivalenz von F zu H).
Die Reflexivität ergibt sich aus F = F ◦ ε mit ε : Z 3
(y 1 , y 2 , y 3 ) .
→ Z 3 , (y 1 , y 2 , y 3 ) ↦→
Ist G = F ◦ γ, so zeigt man für den Nachweis der Symmetrie durch Auflösen
des entsprechenden linearen Gleichungssystems, dass γ wegen det (c ik ) = 1 eine
Umkehrabbildung γ −1 mit ganzen Koeffizienten, die die Symmetriebedingung
erfüllen, und mit der Determinante 1 besitzt. Damit und wegen F = G ◦ γ −1 ist
G zu F äquivalent.
Aus G = F ◦ γ und H = G ◦ β mit einer geeigneten Abbildung β folgt H =
F ◦ (γ ◦ β), wobei die Koeffizienten von γ ◦ β ganz sind und die Determinante
aufgrund des Determinantenproduktsatzes der linearen Algebra den Wert 1 hat.
Damit ist auch H zu F äquivalent.
Die durch die Äquivalenzrelation bestimmten Äquivalenzklassen von ternären
quadratischen Formen heißen Formenklassen .
iii) Invarianz der Determinanten und der Mengen aller darstellbaren
Zahlen
Ist G = F ◦ γ und haben F, G bzw. γ die Koeffizienten a ik , b ik , c ik , so gilt
(
3∑ 3∑ 3∑
) ( 3∑
)
a kl c km y m c ln y n
m=1
n=1
k=1
l=1
3∑ 3∑
=
=
( 3∑
n=1 k=1 l=1
3∑ 3∑
b mn y m y n .
m=1
m=1 n=1
)
3∑
c km a kl c ln y m y n
Durch Koeffizientenvergleich erhält man
3∑ 3∑
b mn = c km a kl c ln für m, n ∈ I 3 .
k=1 l=1
Der Determinantenproduktsatz der linearen Algebra ergibt damit
det (b ik ) = det (c ik ) det (a ik ) det (c ik ) = det (a ik ) .