Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 193
Gaußsche Erkundungsstrategie
Diese am häufigsten anzuwendende Strategie ist schwer zu beschreiben, weil bei
ihr typische Merkmale (“Signale”) fehlen und weil sie oft nur in Verbindung mit
anderen Strategien zum Ziel führt. So dient sie meistens der Suche nach “Ansatzpunkten”
für solche konkreteren Strategien oder dem Aufdecken von Strukturen.
Bei der Einführung der Gaußschen Erkundungsstrategie mit der Lösung von Problem
1 (Seite 31) wurde durch die Behandlung von Spezialfällen zunächst die
Einsatzmöglichkeit der Rückwärtsstrategie erkannt, die schließlich zur Anwendung
der Kernbruchstrategie führte.
Zum Aufdecken von Strukturen gehört meistens eine Materialsammlung in Form
einer Tabelle mit Werten für kleine Parameter. Beim “häuslichen” Problemlösen
ist dafür ein Computeralgebrasystem sehr empfehlenswert. Die dann vorliegende
Aufgabe, Regelmäßigkeiten zu erkennen und zu nutzen, ähnelt schon der Forschungsarbeit
des problemlösenden Mathematikers. Wir bringen deshalb ein leichtes
und ein schweres Beispiel. Für ersteres modifizieren wir das Problem 1.1.2
aus [13], um mehrere Aspekte für den häufig auftretenden Problemtyp darstellen
zu können, bei dem eine Aussage für sehr große Parameterwerte (meistens
die Jahreszahl des Wettbewerbs oder der IMO) gezeigt werden soll. Bemerkenswert
ist hier, wie “Beobachtungen” zu Vermutungen über Allgemeingültigkeit
werden, und wie aufgrund von weiteren Beobachtungen Vermutungen für einzelne
Beweisschritte aufzustellen sind. Manchmal können dabei längere Ketten von
Vermutungen entstehen, bevor sich ein Beweis führen lässt.
Problem 62
Für n ∈ N und k ∈ A 3 sei S n,k : = n ∑
j=0
( n
) (
k+3j , wobei n
k+3j)
für k + 3j ≤ n
die in (3.23) eingeführten Binomialkoeffizienten sind und ( n
k+3j)
= 0 für
k + 3j > n gilt. Leiten Sie für S n,k eine “geschlossene Form” her, das heißt
eine Darstellung ohne Summen- oder Produktzeichen und ohne rekursiv oder
implizit definierte Terme.
(In [13] lautet die Aufgabe: Stellen Sie eine Vermutung bezüglich des Wertes von
S 100,1 auf.)
Als Materialsammlung verwenden wir die folgende Tabelle: