Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.3 Lineare diophantische Gleichung 23
Produktteilersatz
Sind a, n, b 0 , . . . , b n ∈ N 1 mit a | b 0 · · · b n und ggT(a, b i ) = 1 für i = 1, . . . , n,
so gilt a | b 0 .
Beweis (vollständige Induktion, a1):
Es sei M : =
{k ∈ N 1 ; Aus a | b 0 · · · b k und ggT (a, b i ) = 1 für i = 1, . . . , k folgt a | b 0 } .
Für den Induktionsanfang 1 ∈ M ist zu zeigen, dass sich a | b 0 aus a | b 0 b 1 und
ggT (a, b 1 ) = 1 ergibt. Wegen der Voraussetzung a | b 0 b 1 existiert ein f ∈ N 1 ,
sodass b 0 b 1 = a f erfüllt ist. Mit zweimaliger Anwendung von (2.4) erhalten wir
dann
b 0 = b 0 ggT (a, b 1 ) = ggT (a b 0 , b 0 b 1 ) = a ggT (b 0 , f) ,
d. h. es gilt a | b 0 .
Für m ∈ M und a | (b 0 · · · b m ) b m+1 mit ggT (a, b m+1 ) = 1 folgt wie bei dem
Induktionsanfang, dass a Teiler von b 0 · · · b m ist. Wegen m ∈ M ergibt sich a | b 0
und damit m + 1 ∈ M, also M = N 1 .
Die Eigenschaft von zwei natürlichen Zahlen, nur 1 als gemeinsamen Teiler zu
haben, tritt in der Zahlentheorie oft auf. Sie hat deshalb eine eigene Bezeichnung,
bei der nur die Teiler berücksichtigt werden, die größer als 1 sind.
Definition der Teilerfremdheit
Zwei Zahlen a, b ∈ N 1 heißen teilerfremd, wenn ggT(a, b) = 1 gilt.
2.3 Der Kettenbruchalgorithmus und die lineare
diophantische Gleichung
Bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers mit Hilfe des Euklidischen
Algorithmus treten Quotienten auf, die bisher nicht weiter genutzt wurden. Der
folgende Begriff, der einen weiten Bereich der Zahlentheorie begründet, wird erkennen
lassen, dass diese Quotienten zu einem Algorithmus gehören, der mit dem
Euklidischen Algorithmus zusammenhängt wie die “beiden Seiten einer Medaille”.