Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

136 Aufgaben und Probleme 4.9
Problem 58:
Für eine beliebige natürliche Zahl k sei f(k) die Anzahl jener Elemente in der
Menge {k + 1, k + 2, . . . , 2k}, deren Binärdarstellung genau drei Einsen enthält.
a) Man zeige: Zu jeder natürlichen Zahl m gibt es wenigstens eine natürliche Zahl
k, sodass f(k) = m ist.
b) Man bestimme alle natürlichen Zahlen m, für die es genau ein k mit f(k) = m
gibt.
Problem 59:
Man zeige, dass für keine natürliche Zahl n die Zahl
ist.
Problem 60:
n∑
k=0
( 2n+1
2k+1)
2 3k durch 5 teilbar
Für jede natürliche Zahl n bezeichne s(n) die größte natürliche Zahl, für die gilt:
Für jede natürliche Zahl k mit k ≤ s(n) lässt sich die Zahl n 2 als Summe von
genau k Quadraten natürlicher Zahlen schreiben.
a) Man beweise s(n) ≤ n 2 − 14 für jedes n ≥ 4.
b) Man gebe eine ganze Zahl n mit s(n) = n 2 − 14 an.
c) Man beweise, dass es unendlich viele ganze Zahlen n mit s(n) = n 2 − 14 gibt.
Problem 61:
Zu Beginn ist eine natürliche Zahl n 0 > 1 gegeben. Zwei Spieler A und B wählen
abwechselnd natürliche Zahlen n 1 , n 2 , n 3 , . . . nach den folgenden Regeln: Nach
der k-ten Runde kennt A die Zahl n 2k und wählt n 2k+1 derart, dass n 2k ≤ n 2k+1 ≤
n 2 2k
ist, k = 0, 1, . . . .
Kennt nun B die natürliche Zahl n 2k+1 , dann wählt er die natürliche Zahl n 2k+2
derart, dass n 2k+1
= p r , wobei p eine Primzahl und r ≥ 1 eine natürliche Zahl
ist.
n 2k+2
Der Spieler A gewinnt das Spiel, sobald er die Zahl 1990, B gewinnt, sobald er
die Zahl 1 wählt. Für welche n 0 kann
a) A einen Gewinn erzwingen,
b) B einen Gewinn erzwingen und
c) keiner der Spieler einen Gewinn erzwingen