Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

58 Vollkommene Zahlen und spezielle Primzahlen 3.4
Beweis (zwei Teile, direkt):
i) (r1, Euklid):
Mit q : = 2 m − 1 ∈ P ergibt (3.15), dass
gilt.
σ(n) = 2m − 1
2 − 1
q 2 − 1
q − 1 = (2m − 1) (q + 1) = (2 m − 1) 2 m = 2 n
ii) (a1, Euler):
Da n eine gerade vollkommene Zahl sein soll und da σ (2 m−1 ) = 2 m − 1 < 2 m für
m ∈ N 2 gilt, gibt es (m, b) ∈ N 2 × N 3 mit 2 ∤ b, sodass 2 n = 2 m b = σ (2 m−1 b)
erfüllt ist. Aus (3.15) folgt σ (2 m−1 b) = σ (2 m−1 ) σ(b) = (2 m − 1) σ(b). Damit
erhält man
σ(b)
b
= 2m
2 m − 1 ,
wobei die rechte Seite einen Kernbruch darstellt, sodass die Kernbruchstrategie
angewendet werden kann. Aufgrund des Erweiterungssatzes (Seite 36) existiert
also ein c ∈ N 1 , mit dem
(3.17) σ(b) = 2 m c und b = (2 m − 1) c
gilt. Euler zeigte nun mit Hilfe eines etwas längeren indirekten Schlusses, dass
c = 1 und damit σ(b) = b + 1 - also b ∈ P - folgt.
Wir wollen hier die Gelegenheit nutzen, eine weitere wichtige Methode einzuführen,
indem wir mit Hilfe der Rückwärtsstrategie herauszufinden versuchen, wie
sich die Primzahleigenschaft von b direkt gewinnen lässt. Offenbar ist der von
Euler verwendete Schluss, dass b ∈ P aus σ(b) = b + 1 folgt, ein mit d(b) = 2
äquivalentes σ-Primzahlkriterium. Wir steuern also als nächsten Vorwärtsschritt
die Herleitung der Gleichung σ(b) = b + 1 an. Wegen (3.17) und mit 2 m − 1 ∈ N 3
gilt
(3.18) σ(b) = b + c, c | b und c < b,
d. h. es muss c = 1 sein, weil σ(b) die Summe aller Teiler von b ist. Aus (3.17)
folgt damit b = 2 m − 1, und das σ-Primzahlkriterium ergibt, dass b ∈ P ist.
Die gleichzeitige oder abwechselnde Verwendung des Vorwärtsschließens und der
Rückwärtsstrategie erinnert an den Bau einer Brücke von zwei gegenüberliegenden
Ufern aus. Deshalb nennen wir diese Methode im Anschluss an G. Pólya [19]