Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

188 Heuristikbücher 6.2
ins kleinste Detail wisse, wie man die Aufgabe anzupacken habe”. Der dritte
Grund zumindest für eine psychologische Barriere ist die Vorstellung, Mathematik
verstehen heißt, dass man in der Lage ist, “eine Folge von kleinen Übergängen
auszuführen, ihre Richtigkeit zu kontrollieren und auf diese Weise die Gültigkeit
des Ergebnisses zu bestätigen”. Nach einer Reihe von Beispielen schließt das
Kapitel mit dem Rat, schrittweise vorzugehen.
Auch die nächsten beiden Titel beginnen nicht ganz zutreffend mit “Die Kunst,
. . .”, nämlich im sechsten Kapitel “die konkreten Dinge” und im siebenten “die
ökonomischen Aspekte” zu sehen. Das Erstere entspricht der “physikalischen Mathematik”,
die Pólya ausführlich im Kapitel IX von [18] behandelt. Bei de Finetti
geht es nur um kürzeste Linien in Form von gespannten Schnüren und
von Großkreisen auf der Kugel. Etwas allgemeiner sind mit ökonomischen Aspekten
Extremwertaufgaben gemeint, zu denen als Beispiel eine Gewinnmaximierung
und zwei Weglängenminimierungen angegeben werden. Da die nächsten drei Kapitel
von dem Sinn der “allgemeinen, systematischen, in Formeln niedergelegten
Methoden der Mathematik” handeln, stellt die Betrachtung von “Sonderfällen”
einen Übergang zum mathematisch dominierten Teil dar. Zwei Beispiele zeigen,
dass oft ein Spezialfall genügt, um einen Beweis durch Widerspruch zu führen,
und mit Fallunterscheidung wird bewiesen, dass 10 k − 1 für jedes k ∈ N 2 keine
Quadratzahl ist.
Da die zahlreichen Themen, die in den anschließenden Kapiteln gestreift werden,
nur wenig mit Heuristik zu tun haben, geben wir sie in Form einer Aufzählung wieder:
Formeln, Algorithmen; vollständige Induktion; dynamische Betrachtungsweise,
Prozess, Funktionsbegriff; geometrische Örter; geometrische Transformationen,
Halbgruppen, Gruppen, Untergruppen, Kommutativität, komplexe Zahlen;
Vektoren, Skalarprodukt, Ringe; Approximation, Fehlerabschätzung; Stetigkeit,
Grenzwerte, Lösungsdarstellung; Wahrscheinlichkeitstheorie, Prognosen; elektronische
Gehirne, Iterationsmethoden, Logik, Gedächtnisformen.
Das Buch schließt mit 32 Übungsaufgaben und mit einer “didaktischen Bemerkung
für Lehrer”, die ein Plädoyer für anregenden Mathematikunterricht darstellt,
der auch Anwendungen und konkrete Probleme berücksichtigt.
Problem-Solving Through Problems
Dieses 332-seitige Werk von Loren C. Larson [13] lieferte - abgesehen von den