Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

18 Teiler von ganzen Zahlen 2.1
Satz über Teilbarkeitsregeln
Sind a, b, c, d ∈ Z, so gilt:
i) a | a (“Reflexivität”);
ii) Aus a | b und b | c folgt a | c (“Transitivität”);
iii) Aus a | b und c | d folgt (a c) | (b d) (“Multiplikativität”);
iv) Aus a | b und a | c folgt a | (u b + v c) für alle u, v ∈ Z (“Linearität”).
Beweis (direkt, r1):
i) Es gilt a = a 1;
ii) Aus b = a f 1 und c = b f 2 folgt c = (a f 1 ) f 2 = a (f 1 f 2 ) ;
iii) Aus b = a f 1 und d = c f 2 folgt b d = a f 1 c f 2 = (a c) (f 1 f 2 ) ;
iv) Aus b = a f 1 und c = a f 2 folgt u b + v c = a (u f 1 + v f 2 ) .
Satz über die Teileranzahl
Jedes a ∈ N 1 hat höchstens a Teiler.
Beweis (direkt, r1):
Ist d | a, so gibt es ein f ∈ N 1 mit a = d f. Wegen d ∈ N 1 gilt 1 ≤ d ≤ d f = a.
Bezeichnung der Teileranzahlfunktion
Die Abbildung d : N 1 → N 1 , n ↦→ d (n) mit d (n) : = card {t ∈ N 1 ; t | n} für
alle n ∈ N 1 heißt Teileranzahlfunktion.
Der Buchstabe d steht für “Divisor”. In Deutschland schreibt man auch τ(n).
Hier steht das τ für “Teiler”.
Diese Funktion ist das erste Beispiel einer zahlentheoretischen Funktion.
Der größte gemeinsame Teiler von zwei natürlichen Zahlen wird im nächsten
Abschnitt behandelt, um den Beweis von Euklid für den Hauptsatz der elementaren
Zahlentheorie bringen zu können. Soll in einer Vorlesung nur der “moderne”
Beweis geführt werden, der hier ebenfalls zu finden ist, so lässt sich der Inhalt
der folgenden fünf Abschnitte, die beim Problemlösen in der Zahlentheorie eine
wichtige Rolle spielen, in das dritte Kapitel hinter 3.5 verschieben.