Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

128 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 4.8
Bezeichnung der Indizes
Es sei m ∈ { c p k ; c ∈ I 2 , p ∈ P 3 und k ∈ N 1
}
und g sei eine Primitivwurzel
modulo m. Ist a ∈ Z mit ggT (a, m) = 1, so heißt die eindeutig bestimmte
Zahl γ ∈ A ϕ(m) mit a ≡ g γ (mod m) Index von a modulo m (zur Basis g).
Sie wird mit ind g a oder kurz mit ind a bezeichnet.
Satz über Indizes
Es sei m ∈ { c p k ; c ∈ I 2 , p ∈ P 3 und k ∈ N 1
}
und a ∈ Z mit ggT (a, m) = 1.
Ist n ∈ N 2 und d : = ggT (n, ϕ(m)), so gilt:
a) Die Kongruenz x n ≡ a (mod m) ist genau dann lösbar (und a ist dann
n-ter Potenzrest modulo m), wenn ind g a durch d teilbar ist. Im Falle der
Lösbarkeit hat die Kongruenz d Lösungen.
b) Die Zahl a ist genau dann n-ter Potenzrest modulo m, wenn a ϕ(m)
d ≡
1 ( mod m) gilt. Die Anzahl der n-ten Potenzreste in einem reduzierten Restsystem
modulo m ist ϕ(m)
d .
c) Zwischen dem Index ind g a und der Ordnung ord m (a) modulo m besteht die
ϕ(m)
Beziehung ord m (a) =
ggT (ind g a, ϕ(m)) . Insbesondere ist ggT (ind ga, ϕ(m))
unabhängig von der Primitivwurzel g, und a ist Primitivwurzel modulo m
genau dann, wenn ggT (ind g a, ϕ(m)) = 1 gilt.
d) Stellt R ∗ m ein reduziertes Restsystem modulo m dar und ist ϑ ein Teiler von
ϕ(m), so gilt card {a ∈ R ∗ m ; ord m (a) = ϑ} = ϕ(ϑ). Insbesondere ist ϕ(ϕ(m))
die Anzahl der Primitivwurzeln in R ∗ m.
Beweis (direkt, a1):
a) Aufgrund des Satzes über die Ordnung (Seite 120) ist x n ≡ a (mod m) wegen
x n ≡ ( g ind x) n
(mod m) und a ≡ g
ind a (mod m) äquivalent zu n ind x ≡
ind a (mod ϕ(m)). Ersetzt man ind x durch y, so ergibt der Satz über die Lösungsanzahl
der linearen Kongruenz (Seite 101), dass n y ≡ ind a (mod ϕ(m))
genau dann lösbar ist, wenn d | ind a gilt. Falls n y ≡ ind a (mod ϕ(m)) lösbar
ist, gibt es d modulo ϕ(m) inkongruente Werte für y. Ihnen entsprechen d modulo
m inkongruente Werte für x, weil es zu jeder Lösung y ein x ∈ A ∗ m gibt, sodass
ind x eine zu y modulo ϕ(m) kongruente Lösung darstellt.