Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

174 Quadratische Zahlkörper 5.4
Hier braucht nicht erklärt zu werden, wann man von einer Maximalordnung mit
eindeutiger Faktorzerlegung spricht, weil nur ein sehr kleiner Teil aller Maximalordnungen
diese Eigenschaft hat. Deshalb war es ein “Meilenstein” der Zahlentheorie,
als Kummer um 1850 einen Weg zur Herstellung einer eindeutigen Zerlegung
fand, indem er zunächst bemerkte, dass nicht assoziierte irreduzible Zahlen
einer Maximalordnung R d,1 einen größten gemeinsamen Teiler haben können, der
nicht zu Q (√ d ) gehört. Er nannte diese Teiler “ideale Zahlen” und konnte 1856
zeigen, dass sich mit ihrer Hilfe alle Elemente von ̂R d,1 und allgemeiner alle entsprechenden
Elemente aus algebraischen Zahlkörpern 6 eindeutig zerlegen lassen.
Dedekind gelang es 1871, eine dazu äquivalente Erweiterung mit Hilfe derjenigen
Teilmengen von R d,1 zu konstruieren, die aus allen durch eine gegebenen ideale
Zahl teilbaren Elementen bestehen. Diese Strukturen, die - wie in der folgenden
Definition - unabhängig von idealen Zahlen eingeführt werden können, benötigen
wir auch für die Herstellung des Zusammenhangs mit quadratischen Formen.
Definition des Ideals, des Hauptideals und des Primideals
Ist (R, +, ·, 0, 1, −) ein Ring und a eine nicht leere Teilmenge von R, so heißt
a Ideal von R, wenn gilt:
a) a + b ∈ a und −c ∈ a für alle a, b, c ∈ a,
b) ra ∈ a für alle r ∈ R und jedes a ∈ a.
Ein Ideal a heißt Hauptideal von R, wenn es ein a ∈ R gibt, sodass a =
{ar ; r ∈ R} gilt. Man schreibt dann (a) anstelle von a und entnimmt den
zugehörigen Ring aus dem Kontext.
Ein Ideal p heißt Primideal von R, wenn p ≠ R ist und wenn ab /∈ p für alle
a, b ∈ R \ p gilt.
Jeder Ring R enthält die “trivialen” Ideale (0) und (1) = R. Sind a, b Ideale von
R, so lässt sich durch
{
a b : = x ∈ R ; Es gibt n ∈ N 1 , a i ∈ a, b i ∈ b, i = 1, . . . , n, mit x =
n∑
}
a i b i
eine Multiplikation von Idealen definieren, die wieder ein Ideal ergibt und bei der
6 Ein Q enthaltender Körper K heißt algebraischer Zahlkörper, wenn jedes Element von K
Nullstelle eines nicht identisch verschwindenden Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist und
wenn K als Vektorraum über Q eine endliche Dimension hat.
i=1