Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

164 Quadratische Zahlkörper 5.4
Bezeichnungen der Konjugation, Spur, Norm und Diskriminante
Die Abbildung ς : Q (√ d ) → Q (√ d ) , 4 x+y √ d ↦→ x−y √ d heißt Konjugation.
Damit lassen sich die Abbildungen S : Q (√ d ) → Q, η ↦→ η + ς(η) und
N : Q (√ d ) → Q, η ↦→ η ς(η) definieren, die Spur beziehungsweise Norm
genannt werden.
{ d, wenn d ≡ 1 (mod 4),
Zu der Diskriminante D : =
gehört die Parität
4d, wenn d ≡ 2, 3 (mod 4),
α = mod(D, 4) ∈ A 2 (siehe Seite 152 und Seite 159).
Ganz-algebraische Zahlen
Der nächste grundlegende Begriff verallgemeinert die ganzen Zahlen aus Q. Ähnlich
wie die rationalen Zahlen und die ganzen Zahlen Lösungen von Gleichungen
ax + b = 0 beziehungsweise x + c = 0 mit a, b, c ∈ Z sind, lassen sich
die “ganz-algebraischen” Zahlen in Q (√ d ) \ Z als Lösungen von Gleichungen
x 2 +ex+f = 0 mit e, f ∈ Z definieren, während alle übrigen nicht rationalen Elemente
jeweils einer quadratischen Gleichung mit teilerfremden ganzen Koeffizienten
und mit einem von ±1 verschiedenen ganzen Quadratkoeffizienten genügen.
Da mit η ∈ Q (√ d ) auch ς(η) die Ganzheitseigenschaft haben soll, können S(η)
und N(η) anstelle von e und f verwendet werden.
Definition der ganz-algebraischen Zahlen in Q (√ d )
Eine Zahl η ∈ Q (√ d ) heißt ganz-algebraisch, wenn S(η) ∈ Z und N(η) ∈ Z
gilt.
Obwohl Gauß in einer 1832 veröffentlichten Arbeit über biquadratische Reste die
“ganzen complexen Zahlen” in Q ( √ −1 ) untersuchte und die Bedeutung dieser
“Erweiterung des Feldes der Arithmetik” unterstrich, haben die beiden großen
Zahlentheoretiker der nachfolgenden Generation, Dirichlet (ab 1840) und E.
E. Kummer 5 (1847), die “algebraische Zahlentheorie” nur am Rande weitergeführt.
Zu ihrer vollen Blüte wurde sie erst durch Kronecker (1858/1881)
und Dedekind (1878) entwickelt.
4 Der griechische Buchstabe ς heißt auch “Sigma”.
5 Ernst Eduard Kummer (1810-1893) wirkte in Breslau und Berlin.