Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

62 Verteilung der Primzahlen 3.5
Theorem über Fermat-Primzahlen
Für n ∈ N 1 stellt F n genau dann eine Primzahl dar, wenn F n Teiler von
3 Fn−1
2 + 1 ist.
Vermutung über Fermat-Primzahlen
Es gibt nur die obigen fünf Fermat-Primzahlen.
3.5 Verteilung der Primzahlen
Die Folge der Primzahlen hat beliebig lange Lücken, weil für jedes m ∈ N 2 alle
Zahlen der Menge {n ∈ N 3 ; Es gibt ein i ∈ I m−1 mit n = m! + i + 1} keine
Primzahlen sind. Bei einigen zahlentheoretischen Problemen haben die Zahlen
aus N 2 , die nicht zu den Primzahlen gehören, einen eigenen Namen, der aber erst
bei Verallgemeinerungen in der Algebra eine größere Bedeutung gewinnt.
Bezeichnung der zerlegbaren Zahlen
Die Zahlen aus N 2 \ P heißen zerlegbar.
In der entgegengesetzten Richtung sprechen numerische Befunde dafür, dass die
Frage von Seite 15 bezüglich der Unendlichkeit der Menge {p ∈ P ; p + 2 ∈ P}
positiv zu beantworten ist.
Auf der Suche nach Regelmäßigkeiten der Primzahlfolge stellte Gauß 1792 als
16-Jähriger die unveröffentlichte Vermutung auf, dass die Anzahl der Primzahlen
unterhalb einer positiven Schranke x “asymptotisch” so groß ist wie
x
ln x . Wegen
ihrer Bedeutung hat diese Anzahlfunktion ein eigenes Symbol:
Bezeichnung der Primzahlfunktion
Die Abbildung π : R + → N , x ↦→ card {p ∈ P ; p ≤ x} heißt Primzahlfunktion.