Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.2 Darstellung als Summe von Quadraten 141
5.2 Darstellung als Summe von Quadraten
∑
Für k ∈ N 2 sei Q k : =
{n ∈ N 1 ; Es gibt (x 1 , . . . , x k ) ∈ Z k mit n = k
x 2 i
i=1
Die drei Sätze dieses Abschnitts sind Beispiele für “kollektives Problemlösen”,
weil der jeweilige Beweis erst einige Zeit nach der Formulierung des Satzes von
einem anderen Mathematiker gefunden wurde. Den folgenden Satz hat Fermat
verbreitet; einen vollständigen Beweis konnte aber erst Euler veröffentlichen.
}
.
Zweiquadratesatz (Euler, 1749)
Es gilt Q 2 = {n ∈ N 1 ; 2 | ν p (n) für alle p ∈ P mit p ≡ 3 (mod 4)} .
Beweis (fünf Teile: i), ii) direkt, iii) indirekt, iv) vollständige Induktion, v)
indirekt, h1):
i) Die für alle x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ Z gültige Identität
( ) ( )
x
2
1 + x 2 2 y
2
1 + y2
2 = (x1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 + (x 1 y 2 − x 2 y 1 ) 2 ,
die schon Diophant bekannt war, erlaubt es uns, den allgemeinen Fall auf die
Darstellbarkeit von Primzahlen p mit p = 2 oder p ≡ 1 ( mod 4) zurückzuführen.
Nach dem Ausmultiplizieren der Klammern stehen auf beiden Seiten der Gleichung
dieselben Quadratprodukte, während sich die beiden gemischten Glieder
der rechten Seite wegheben.
ii) In einem vorbereitenden Schritt zeigen wir, dass es zu jedem p ∈ P mit
p ≡ 1 (mod 4) ein µ ∈ I p−1 und ein x ∈ Z gibt, sodass µ p = x 2 + 1 2 gilt.
Der zweite Teil des Wilsonschen Fakultätensatzes (Seite 102) lässt sich im Falle
(((
p ≡ 1 (mod 4) in der Form p p−1
) ) 2
∣
2 ! + 1 2)
( schreiben. Ist x der absolut
)
p−1
kleinste Rest von
2 ! modulo p, so gilt p | (x 2 + 1 2 ) und |x| < p . Damit gibt
2
es ein µ ∈ N 1 mit x 2 + 1 2 = µ p und µ p < ( p
2) 2
+ 1 < p 2 , woraus µ < p folgt.
Wegen 2 = 1 2 + 1 2 liegt für p = 2 schon eine Darstellung mit µ = 1 vor.
iii) Für Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4) sei V p : = {µ ∈ N 1 ; Es gibt x 1 , x 2 ∈
N mit µ p = x 2 1 + x 2 2} . Wir setzen m = m(p) : = min V p und zeigen, dass die
Annahme m > 1 zu einem Widerspruch führt. Damit wenden wir eine Variante