Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.6 Ausblick auf Resultate der analytischen Primzahltheorie 71
3.6 Ausblick auf bedeutende Resultate der analytischen
Primzahltheorie
i) Primzahlen in arithmetischen Folgen
Neben den beiden Folgen (2 n − 1) n
und (2 n + 1) n
aus Abschnitt 3.4 haben vor allem
die “arithmetischen Folgen” (k n + l) n
mit (k, l) ∈ N 3 ×Z und ggT (k, l) = 1
das Interesse der Zahlentheoretiker geweckt. Während k n+l im Falle ggT (k, l) >
1 aufgrund des Satzes über Teilbarkeitsregeln (Seite 18) für alle n ∈ N 2 zerlegbar
ist, konnte G. Dirichlet 8 in einer bedeutenden Arbeit die folgende Aussage
beweisen:
Theorem über Primzahlen in arithmetischen Folgen (G. Dirichlet,
1837)
Sind (k, l) ∈ N 3 × Z mit ggT (k, l) = 1, so enthält die Folge (k n + l) n
unendlich viele Primzahlen.
Zum Beweis führte Dirichlet zwei neue Begriffe ein, die später nach ihm benannt
wurden, nämlich Dirichlet-Reihen und Dirichlet-Charaktere. Ist (a n ) n
eine
∑
Folge von reellen oder komplexen Zahlen, so heißt die Funktionenreihe ∞ a n
mit
n s
der reellen (und später auch komplexen) Variablen s Dirichlet-Reihe mit der Koeffizientenfolge
(a n ) n
∑
. Die wichtigste Dirichlet-Reihe ist ∞ 1
. Ihre Bedeutung
n
n=1
s
beruht auf der Produktdarstellung
∞∑ 1
(3.29)
n = ∏ (
1 − 1 ) −1
,
s p s n=1 p∈P
die von Euler für alle s ∈ R mit s > 1 bewiesen wurde. Einen Spezialfall seiner
Methode haben wir bei dem Beweis der unteren Abschätzung von π(x) auf Seite
68 verwendet. Mit der dort definierten Menge N x gilt
∏
p∈P
p≤x
(
1 − 1 p s ) −1
= ∑ n∈N x
1
n s für jedes x ∈ R + .
Durch den Übergang x → ∞ und mit dem Hauptsatz (Seite 49) ergibt sich (3.29).
8 Peter Gustav (Lejeune-) Dirichlet (1805-1859) wirkte in Breslau, Berlin und Göttingen.
n=1