Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 217
(6.27) ggT (a m , b m , c m , d m ) | ggT (a m+n , b m+n , c m+n , d m+n ) für alle n ∈ N.
Ebenso leicht sieht man, dass 2 | ggT (a n+4 , b n+4 , c n+4 , d n+4 ) für alle n ∈ N erfüllt
ist. Wegen (6.27) genügt es,
(6.28) 2 | ggT (a 4 , b 4 , c 4 , d 4 )
zu zeigen. Das geschieht modulo 2 mit Fallunterscheidung. Indem wir [mod(a, 2),
mod(b, 2), mod(c, 2), mod(d, 2)] anstelle von (a, b, c, d) schreiben, erhalten wir
die Sequenzen [1, 0, 0, 0] → [1, 0, 0, 1] → [1, 0, 1, 0] → [1, 1, 1, 1] → [0, 0, 0, 0] und
[1, 1, 1, 0] → [0, 0, 1, 1]. Die Fortsetzung der zweiten Sequenz und die übrigen Fälle
ergeben sich durch zyklische Vertauschung.
Eine zahlentheoretische Lösung von Problem 73 folgt nun zusammen mit (6.26)
durch die dritte invariante Eigenschaft
(6.29) 2 k | ggT (a 4k , b 4k , c 4k , d 4k ) für alle k ∈ N 1 ,
die wir mit vollständiger Induktion beweisen. Dazu sei
M : = { k ∈ N 1 ; 2 k | ggT (a 4k , b 4k , c 4k , d 4k ) } .
Wegen (6.28) ist 1 ∈ M. Für m ∈ M definieren wir die ganzen Zahlen a ′ 0 : =
2 −m a 4m , b ′ 0 : = 2 −m b 4m , c ′ 0 : = 2 −m c 4m und d ′ 0 : = 2 −m d 4m sowie für n ∈ A 3
rekursiv a ′ n+1 : = a ′ n − b ′ n, b ′ n+1 : = b ′ n − c ′ n, c ′ n+1 : = c ′ n − d ′ n, d ′ n+1 : = d ′ n − a ′ n.
Wegen (6.28) gilt dann 2 | ggT (a ′ 4, b ′ 4, c ′ 4, d ′ 4) , und mit a ′ 4 = 2 −m a 4m+4 , b ′ 4 =
2 −m b 4m+4 , c ′ 4 = 2 −m c 4m+4 , d ′ 4 = 2 −m d 4m+4 folgt m + 1 ∈ M, sodass M = N 1
ist.
Um das “genetische” Defizit der kurzen und eleganten Lösung in [5] aufzuzeigen,
bringen wir die Übersetzung des ersten Abschnitts: ≪Es sei P n = (a n , b n , c n , d n )
das Quadrupel nach n Iterationen. Dann haben wir a n + b n + c n + d n = 0 für
n ≥ 1. Wir sehen noch nicht, wie wir diese Invariante nutzen können. Aber eine
geometrische Interpretation ist meistens hilfreich. Eine sehr wichtige Funktion für
den Punkt P n im 4-dimensionalen Raum ist das Quadrat seines Abstands vom
Ursprung (0, 0, 0, 0), nämlich a 2 n + b 2 n + c 2 n + d 2 n. Wenn wir zeigen könnten, dass
diese Quadratsummen keine obere Schranke haben, wären wir fertig.≫
Auf diesen Ansatz können viele ProblemlöserInnen nur kommen, wenn sie entsprechende
Vorkenntnisse haben. Dieser Mangel lässt sich mit der Brückenstrategie
mildern, indem man eine Funktion f(u, v, w, x) sucht, für die (f n ) n∈N
mit
f n : = f (a n , b n , c n , d n ) unbeschränkt wächst und bei der sich f n+1 möglichst leicht