Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.3 Anwendungen des Hauptsatzes 55
Wegen der Maximalität von t gibt es zu jedem p ∈ P ein l ∈ I n , sodass ν p (t) =
ν p (a l ) erfüllt ist. Mit (3.11) erhält man dann δ p ≤ ν p (t) und zusammengefasst
δ p = ν p (t).
b) Entsprechend folgt ν p (a i ) ≤ ν p (v) aus a i | v für jedes i ∈ I n , und die Maximalität
von γ p ergibt ν p (a i ) ≤ γ p . Als Brücke für γ p ≤ ν p (v) dient ein k ∈ I n
mit ν p (a k ) = γ p . Die Minimalität von v sichert dann die Existenz eines m ∈ I n
mit ν p (v) = ν p (a m ) , sodass schließlich ν p (v) ≤ γ p und mit der vorhergehenden
Ungleichung ν p (v) = γ p folgt.
Der nächste Satz bringt eine typische Anwendung der Primpotenzdarstellung:
Satz über die Teileranzahlfunktion
Hat a ∈ N 2 die Primpotenzdarstellung a =
(3.12) d(a) =
r ∏
k=1
r∏
(e k + 1).
k=1
q e k
k
, so gilt
Beweis (vollständige Induktion, r1):
Die Induktionsmenge sei
{
M : = s ∈ N 1 ; Für a =
s∏
k=1
q e k
k
gilt d(a) =
s∏
k=1
}
(e k + 1) .
Der Teilbarkeitssatz (Seite 53) ergibt, dass eine Primzahlpotenz q e genau die
e + 1 Teiler 1, q, . . . , q e besitzt. Für q = q 1 und e = e 1 erhalten wir damit den
Induktionsanfang 1 ∈ M.
Für m ∈ M setzen wir b : =
m ∏
k=1
q e k
k
und c : = q e m+1
m+1 . Die Induktionsannahme
∏
liefert d(b) = m (e k + 1). Aufgrund des vorweg behandelten Falles mit q = q m+1
k=1
und e = e m+1 + 1 ist d(c) = e m+1 . Aus der Darstellung aller Teiler von b, c und
bc mit Hilfe des Teilbarkeitssatzes folgt, dass die Menge der Teiler von bc genau
aus den Produkten aller Teiler von b mit den Teilern von c besteht. Also gilt
d(a) = d(bc) = d(b)d(c).
Damit ist m + 1 ∈ M, und der Induktionssatz ergibt M = N 1 .
Der folgende Satz, der diesen Abschnitt beschließt, enthält das auf Seite 37 angekündigte
Rationalitätskriterium für k-te Wurzeln. Wichtiger ist jedoch wieder