Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

3.3 Anwendungen des Hauptsatzes 53
formale Darstellung von n. Zu der Zahl 1 wird die formale Darstellung durch
ν p (1) : = 0 für alle p ∈ P erklärt.
3.3 Anwendungen des Hauptsatzes
Die Zahlen r und t aus der Primpotenzdarstellung beziehungsweise aus der Primärzerlegung
ergeben zwei nützliche zahlentheoretische Funktionen:
Bezeichnung der Primteileranzahl und der Primpotenzteileranzahl
Die Abbildung ω : N 1 → N mit
{ card { p ∈ P ; p | n} , wenn n ∈ N2 ,
(3.4) ω(n) : =
0 , wenn n = 1,
heißt Anzahlfunktion der Primteiler.
Die Abbildung Ω : N 1 → N mit
{ {
card (p, k) ∈ P × N1 ; p
(3.5) Ω(n) : =
k | n } , wenn n ∈ N 2 ,
0 , wenn n = 1,
heißt Anzahlfunktion der Primpotenzteiler.
Der Vorteil der formalen Darstellung zeigt sich schon, wenn eine Darstellung
für das Produkt von zwei Zahlen a, b ∈ N 2 mit a = ∏ p νp(a) und b = ∏ p νp(b)
p∈P
p∈P
benötigt wird. Für jeden Primteiler, der in beiden Primpotenzdarstellungen vorkommt,
lässt sich die Potenzproduktregel der Zahlgenese anwenden. Fallunterscheidung
ergibt dann
(3.6) ν p (ab) = ν p (a) + ν p (b) für alle p ∈ P.
Mit Hilfe der formalen Darstellung erhalten wir ein sehr häufig anwendbares
Teilbarkeitskriterium:
Teilbarkeitssatz
Haben a, b ∈ N 1 die formalen Darstellungen a = ∏ p νp(a) und b = ∏ p νp(b) ,
p∈P
p∈P
so gilt a | b genau dann, wenn
(3.7) ν p (a) ≤ ν p (b) für alle p ∈ P
erfüllt ist.