Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.8 Ordnungen, Primitivwurzeln und Indizes 125
Aufgrund des Satzes über die ggT- und kgV-Darstellung (Seite 54) sowie des
Teilbarkeitssatzes (Seite 53) gilt dann v = m n, ggT (m, n) = 1, m | t und
( t ) ( u )
n | u. Mit (4.16) folgt, dass ord p a m = m und ordp b n = n erfüllt ist, und
(4.17) liefert ord p
(
a
t
m b u n
)
= m n = v. Wegen t | v und t < v kann also c : =
mod ( a t m b u n , p ) gesetzt werden.
Man beginnt die Suche nach einer Primitivwurzel in A ∗ p mit a = 2, wählt im Falle
ord p (a) < p − 1 die Zahl b möglichst klein, bestimmt c, wenn ord p (b) < p − 1 gilt,
und fährt mit a : = c fort, solange ord p (c) < p − 1 ist.
Gauß wählte als Beispiel p = 73, weil dieses die kleinste Primzahl ist, bei der drei
Durchläufe benötigt werden. Die Mengen C 73, a der sukzessiven Potenzreste sind
C 73, 2 = {2, 4, 8, 16, 32, 64, 55, 37, 1}, C 73, 3 = {3, 9, 27, 8, 24, 72, 70, 64, 46, 65, 49, 1}
und C 73, 54 = {54, 69, 3, 16, 61, 9, 48, 37, 27, 71, 38, 8, 67, 41, 24, 55, 50, 72, 19, 4, 70,
57, 12, 64, 25, 36, 46, 2, 35, 65, 6, 32, 49, 18, 23, 1}, wobei sich 54 wegen ord 73 (2) =
9, ord 73 (3) = 12, kgV (9, 12) = 36 = 9 · 4 als 2 9 9 3 12 4 ergibt. Die kleinste Zahl
aus A ∗ 73 \ C 73, 54 ist 5. Da in C 73, 54 genau die zu A ∗ 73 gehörenden Lösungen von
x 36 ≡ 1 (mod 73) liegen, ist 5 36 ≢ 1 (mod 73). Deshalb muss aufgrund des Satzes
über ein Primitivwurzelkriterium nur noch mod (5 24 , 73) bestimmt werden.
Dazu berechnet man C 73, 5 bis zum 24. Glied und findet mod (5 24 , 73) = 8. Damit
(und weil 2 und 3 in C 73, 54 liegen) ist 5 die kleinste Primitivwurzel in A ∗ 73.
Periodenlängen von g-adischen Brüchen
Die Dezimalbruchentwicklungen 1 7 = 0, 142857, 2
7 = 0, 285714, 3
7 =
4
0, 428571,
7 = 0, 571428, 5
7 = 0, 714285 und 6 = 0, 857142 zeigen ein
7
Phänomen, das nur bei wenigen g-adischen Bruchentwicklungen auftritt:
8
2
4
5 7
1
Die Ziffern der Perioden gehen durch
“zyklische Vertauschung” auseinander
hervor, d. h. bei Anordnung auf einem
Kreis ist die Reihenfolge der Ziffern
stets dieselbe (siehe nebenstehende Abbildung).
Um die wesentlichen Zusammenhänge kurz darstellen zu können, beschrän-