Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.6 Kongruenzen mit einer Unbekannten 101
4.6 Kongruenzen mit einer Unbekannten
Bezeichung des Grades eines Polynoms, der Wurzel einer Kongruenz
und der Anzahl der Lösungen modulo m
∑
Es sei f(x) = n c k x k mit n ∈ N 1 und c k ∈ Z für k = 0, . . . , n.
k=0
a) Falls es ein k ∈ A n+1 mit m ∤ c k gibt, wird g : = max {k ∈ A n+1 ; m ∤ c k }
Grad des Polynoms f(x) modulo m genannt.
b) Eine Zahl a ∈ Z heißt Lösung oder Wurzel der Kongruenz f(x) ≡ 0 (mod
m), wenn f(a) ≡ 0 ( mod m) gilt. (Aufgrund des Satzes über Kongruenzregeln
(Seite 87) sind dann auch alle b ∈ a Lösungen der Kongruenz.)
c) Ist R m ein vollständiges Restsystem modulo m, so wird die von R m unabhängige
Zahl card {a ∈ R m ; f(a) ≡ 0 (mod m)} als Anzahl der Lösungen
der Kongruenz f(x) ≡ 0 (mod m) bezeichnet.
Zum Beispiel hat x 2 ≡ 1 (mod 8) vier Lösungen, weil die Zahlen 1, 3, 5, 7 aus A 8
der Kongruenz genügen, die übrigen Zahlen 0, 2, 4, 6 aber nicht.
Der folgende Satz, der eine Fortsetzung des Satzes über die lineare Kongruenz
(Seite 91) darstellt, enthält eine der wenigen genauen Lösungsanzahlen von Polynomkongruenzen.
Satz über die Lösungsanzahl der linearen Kongruenz
Sind a, m ∈ N 1 , b ∈ Z und d : = ggT (a, m), so besitzt die Kongruenz
a x ≡ b (mod m) keine Lösung, wenn d ∤ b gilt. Ist d Teiler von b, so hat
die Kongruenz genau d Lösungen, die alle zu einer bestimmten Restklasse
modulo m d gehören.
Beweis (Fallunterscheidung, direkter und indirekter Schluss, r1):
i) Zunächst sei d = 1. Ist R m ein beliebiges vollständiges Restsystem modulo m,
so stellt {a x − b ; x ∈ R m } aufgrund des Satzes über modifizierte Restsysteme
(Seite 92) ein vollständiges Restsystem dar. Also gibt es genau ein x 0 ∈ R m mit
a x 0 ≡ b (mod m). Damit hat die Kongruenz genau eine Lösung.
ii) Es sei d > 1. Ist die Kongruenz lösbar, so folgt d | b aus d | a und d | m. Im
Falle d ∤ b hat also die Kongruenz keine Lösung.