Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

150 Darstellung als Summe von Quadraten 5.2
wird nun mit Fallunterscheidung jeweils eine positiv-definite Form F, deren Determinante
den Wert 1 hat, angegeben. Die übrigen Fälle des Satzes können
hierauf zurückgeführt werden; denn wenn n die Form 4 k m mit mod(m, 8) ∈
{1, 2, 3, 5, 6} hat und m die Darstellung m = F (x 1 , x 2 , x 3 ) besitzt, so lässt sich
n als n = F ( 2 k x 1 , 2 k x 2 , 2 k x 3
)
schreiben.
Die zu erfüllenden Bedingungen lauten
n = F (x 1 , x 2 , x 3 ) , a 11 > 0, a 11 a 22 − a 2 12 > 0 und det (a ik ) = 1.
Von den 9 Unbekannten können 6 vorweg festgelegt werden:
a 13 = 1, a 23 = 0, a 33 = n, x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1.
Die n-Darstellung folgt dann durch n = a 33 = F (0, 0, 1). Mit b : = a 11 a 22 − a 2 12
ergibt die vierte Bedingung 1 = det (a ik ) = (a 11 a 22 − a 2 12) n − a 22 = b n − a 22
und damit a 22 = b n − 1. Setzen wir wegen 1 = 1 2 + 0 2 + 0 2 im Folgenden n ∈ N 2
voraus, so ergibt a 22 > b − 1 ≥ 0 und a 11 a 22 = a 2 12 + b > 0, dass schon a 11 > 0
gilt. Es bleiben also nur noch die Bedingungen
(5.7) b = a 11 a 22 − a 2 12 > 0 und a 22 = b n − 1.
Die Suche nach geeigneten Koeffizienten lässt sich weiter dadurch vereinfachen,
dass (5.7) als quadratische Kongruenz
(5.8) x 2 ≡ −b (mod b n − 1) mit b ∈ N 1 und x = a 12
angesehen wird. Durch Unterscheidung von zwei Fällen ergibt sich nun jeweils
die Existenz einer nur von n abhängigen Primzahl p, so dass (5.8) mit b n − 1 =
p ggT (n + 1, 2) lösbar ist.
1. Fall: Für n ≡ 2 (mod 4) ist ggT (n − 1, 4 n) = 1. Deshalb gibt es für jedes
dieser n aufgrund des Theorems über Primzahlen in arithmetischen Folgen (Seite
71) unendlich viele p ∈ P mit p ≡ n − 1 (mod 4n). Es folgt p ≡ 1 (mod 4), und
für b : = p+1
n
gilt wegen b = 4 p−n+1
4 n
+ 1 auch b ≡ 1 (mod 4). Mit Hilfe der
zugehörigen Sätze über das Jacobi-Symbol (Seite 112 bis 117) ergibt sich
( −b
) ( −1
)( b
=
=
p p p) ( − 1 ) (
p − p
) (− ) (
p− b
1
− p
) ( b n − 1
) ( −1
)
= = = = 1,
b b b b
d. h. die Kongruenz (5.8) ist lösbar und liefert die gesuchten Koeffizienten.
2. Fall: Für die übrigen n mit mod (n, 8) ∈ {1, 3, 5} wird c : = mod (n + 2, 4)
gesetzt. Dann ist ggT ( c n−1
, 4 n ) = 1, und wegen des Theorems über Primzahlen
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