Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

152 Binäre quadratische Formen und die Klassengruppe 5.3
Bezeichnung der binären quadratischen Formen und ihrer Diskriminanten
Sind a, b, c ∈ Z, so heißt
F : Z 2 → Z, (x, y) ↦→ ax 2 + bxy + cy 2
binäre quadratische Form (im Folgenden kurz Form). Die Abkürzung (a, b, c)
beschreibt die Abhängigkeit der Form F von den Koeffizienten.
Mit dis (a, b, c) : = b 2 − 4ac wird die Diskriminante der Form F bezeichnet.
Ist D eine Diskriminante und setzt man α : = mod (D, 4), so gilt α ∈ A 2 , und
( )
für jedes D ∈ Z mit α ∈ A 2 stellt 1, α, α−D eine Form mit der Diskriminante
4
( )
D dar, weil dis 1, α, α−D = α
4
2 − 4 α−D = α(α − 1) + D = D gilt.
4
Da wir hier nur die wichtigsten Zusammenhänge wiedergeben wollen, nehmen wir
mehrere Einschränkungen vor. So betrachten wir im Folgenden nur Formen, deren
Diskriminante keine Quadratzahl ist, weil diese Formen eng mit den “quadratischen
Ordnungen” zusammenhängen, die im nächsten Abschnitt eine wesentliche
Rolle spielen. Bei den Herleitungen in diesem Abschnitt wird es sich außerdem
als günstig erweisen, dass für die Formen (a, b, c) mit nichtquadratischer Diskriminante
a ≠ 0 und c ≠ 0 gilt, weil andernfalls D = b 2 wäre.
Im Übrigen gehören zu den quadratischen Diskriminanten genau diejenigen Formen
(a, b, c), die zerlegbar sind, d. h. für die es Zahlen r, s, t, u ∈ Z gibt, so dass
ax 2 + bxy + cy 2 = (rx + sy) (tx + uy) für alle x, y ∈ Z gilt.
Bevor wir analog zum Vorgehen bei dem Dreiquadratesatz die Äquivalenz von
Formen definieren, klären wir eine typische Eigenschaft der Wertemengen W F : =
{n ∈ Z ; Es gibt (x, y) ∈ Z 2 mit n = F (x, y)} in Abhängigkeit von sign D. Wie
in (5.4) mit x 3 = 0 ergibt sich
4aF (x, y) = (2ax + by) 2 + (4ac − b 2 ) y 2 = (2ax + by) 2 − Dy 2 ,
sodass aF (x, y) für D < 0 stets nichtnegativ ist, und der Fall aF (x, y) = 0 kann
nur eintreten, wenn y = 0 und wegen 2ax + by = 0 auch x = 0 gilt. Damit
erhalten wir
(5.10) F (x, y) > 0 für D < 0, a > 0 und für alle x, y ∈ Z \ {(0, 0)}.