Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

2.5 Pythagoreische Tripel 39
Beweis (zwei Teile):
i) Herleitung der Parameterdarstellung (direkt, a1):
Die aus (2.18) und der Voraussetzung folgende Kernbruchgleichung
y + z
x
= x
z − y = u v
ergibt für die Quotienten y x und z x die beiden Gleichungen y x + z x = u v und
z
x − y x = v . Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten erhalten wir
u
2y
x = u2 −v 2
. Da x gerade ist, setzen wir x
uv
′ : = x 2 . Schreiben wir außerdem u2 − v 2
als Produkt, so haben wir
(2.19)
y
x ′ =
(u − v)(u + v)
uv
mit ggT(x ′ , y) = 1.
Nun zeigen wir, dass auch auf der rechten Seite der Bruchgleichung ein Kernbruch
steht. Aus ggT(u, v) = 1 und mit (2.3) folgt
1 = ggT(u + v, u) = ggT(u − v, u) = ggT(u + v, v) = ggT(u − v, v)
Um ggT (u 2 − v 2 , uv) = 1 zu erhalten, brauchen wir also nur zu beweisen, dass
(2.20) ggT(a, bc) = 1 für alle a, b, c ∈ N 1 mit ggT(a, b) = ggT(a, c) = 1
gilt, weil sich damit nacheinander ggT(u + v, uv) = 1, ggT(u − v, uv) = 1 und
ggT ( (u − v)(u + v), uv ) = 1 ergibt. Setzen wir r : = ggT(a, bc), so folgt r | a
und r | bc. Wegen ggT(a, b) = 1 ist auch ggT(r, b) = 1. Mit dem Produktteilersatz
(Seite 23) erhalten wir r | c, sodass r | ggT(a, c) gilt. Wegen ggT(a, c) = 1 muss
also r = 1 sein.
Da zwei zueinander gleiche Kernbrüche aufgrund des Erweiterungssatzes (Seite
36) durch Erweiterung auseinander hervorgehen, müssen die Zähler und die Nenner
jeweils gleich sein. Aus (2.19) mit ggT (u 2 − v 2 , uv) = 1 und aus z = u v x − y
folgt also
x = 2uv, y = u 2 − v 2 , z = u 2 + v 2 .
ii) Abbildungseigenschaften (direkt, r1):
α) ψ ist eine Abbildung von Q nach P: Wegen u > v > 0 ist ψ(u, v) ∈ N 3 1. Für
alle (u, v) ∈ N 2 1 gilt (2uv) 2 + (u 2 − v 2 ) 2 = 4u 2 v 2 + u 4 − 2u 2 v 2 + v 4 = (u 2 + v 2 ) 2