Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

5.4 Quadratische Zahlkörper 169
(
νp (m), 2 ) die eindeutig bestimmten Faktoren f : = ∏ p αp(m) und d : = ∏ p βp(m) ,
p∈P
p∈P
für die d ∈ S ∩ N , f ∈ N 1 und m = f 2 d gilt. Aus x 2 − f 2 d y 2 = 1 und der
Normgleichung (5.19) folgt dann
(5.24) (x − αfy) + fy ρ ∈ R ∗ d,f.
Da wir im nächsten Satz zu jeder Ordnung R d,f alle Einheiten angeben werden,
sind damit auch alle Lösungen der Fermat-Pell-Gleichungen bestimmt.
Die Hauptschwierigkeit bei der Herleitung der noch fehlenden Einheitendarstellungen
besteht in dem Nachweis dafür, dass Rd,f ∗ \ {−1, 1} ≠ ∅ für alle d ∈ S ∩ N
und f ∈ N 1 gilt. Ist η ∈ Rd,f ∗ \{−1, 1}, so stellen η 1 : = η, η 2 : = 1 η , η 3 : = −η und
η 4 : = − 1 η vier verschiedene Einheiten dar, weil die Komponentenpaare (x i, y i ) von
η i = : x i +y i
√
d, i ∈ I4 , in je einem der vier Quadranten liegen. Da diese Einheiten
außerdem dieselbe Norm e haben und sign ( x i (1 + e) + y i (1 − e) ) η sign(x iy i )
i > 1 für
jedes i ∈ I 4 gilt, ist genau diejenige Einheit η i größer als 1, deren Komponenten
beide positiv sind.
Für den Größenvergleich der Elemente von Q (√ d ) mit d ∈ S ∩ N wird die
Anordnung von R nicht benötigt, weil x + y √ d > 0 mit x, y ∈ Q genau dann
gilt, wenn x ≥ 0, y ≥ 0 und (x, y) ≠ (0, 0) oder wenn (sign x)(sign y) = −1 und
(sign x) ( x 2 −dy 2) > 0 erfüllt ist. Im Vorgriff darauf, dass wir { η ∈ R ∗ d,f ; η > 1} ≠
∅ für jedes d ∈ S ∩ N und alle f ∈ N 1 beweisen werden, definieren wir unter
Anwendung des Minimumsatzes (Seite 11) die Grundeinheiten
(5.25) ε d,f : = min { η ∈ R ∗ d,f ; η > 1 } ,
mit deren Hilfe sich alle Einheiten von R d,f darstellen lassen.
Einheitensatz
Für d ∈ S und f ∈ N 1 gilt
⎧{( ) 1
2
⎪⎨
+ 1 k }
2√
3i ; k ∈ A6 , wenn D f = −3,
{ }
Rd,f ∗ i
=
k ; k ∈ A 4 , wenn Df = −4,
{−1, 1}, wenn D f ∈ D mit D f < −4,
⎪⎩
{
eε
k
d,f ; e ∈ {−1, 1} und k ∈ Z } , wenn D f ∈ D ∩ N,
wobei ε d,f die in (5.25) definierte Grundeinheit ist.