Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

6.3 Problemlösestrategien 213
P 2 (n) = 1 3 n3 + 1 2 n2 + 1 6 n und P 3(n) = 1 4 n4 + 1 2 n3 + 1 4 n2
berechnen. Aber wir gewinnen keine Einsicht in die Struktur der Koeffizienten.
Deshalb versuchen wir die Methode der erzeugenden Funktionen (Seite 207) so
anzuwenden, dass sich die Potenzen k m mit den Potenzen der Reihenentwicklung
der Exponentialfunktion verbinden lassen, wobei 0! : = 1 ist:
)
∞∑
R n (x) : =
k m
=
P m (n) xm
m! = ∞
∑
( n∑
m=0
m=0 k=0
(
n∑ ∑ ∞
)
n∑
1
m! (kx)m = (e x ) k
k=0
m=0
= e(n+1)x − 1
e x − 1
= e(n+1)x − 1
x
k=0
x
e x − 1 ,
wobei Sätze der Analysis die Vertauschung der Summanden, die stetige Ergänzung
für x = 0 und im Folgenden die Multiplikation von Potenzreihen ermöglichen.
Mit Hilfe der Exponentialreihe erhalten wir für den ersten Bruch die Reihenentwicklung
e (n+1)x − 1
∞∑ (n + 1) i+1 x i
(6.17)
=
x
i + 1 i! .
i=0
Der zweite Bruch definiert als erzeugende Funktion durch seine (für |x| < 2π
konvergente) Reihenentwicklung
∞
x
(6.18)
e x − 1 = : ∑ x j
B j
j!
eine Folge (B j ) j∈N
, deren Glieder B j nach Jakob Bernoulli 3 Bernoullische
Zahlen heißen. Sie spielen in vielen Teilen der Mathematik eine Rolle.
Durch Multiplikation der Potenzreihen aus (6.17) und (6.18) folgt
(
∞∑ m
)
∑ (
R n (x) = B m
) (n + 1)
i+1
x m
m−i i i + 1 m! ,
m=0
i=0
und Koeffizientenvergleich gemäß dem Potenzreihenvergleichssatz auf Seite 207
ergibt
m∑
(6.19) P m (n) =
i=0
j=0
x m
m!
(
1
B m
)
m−i i+1 i (n + 1) i+1 für alle m, n ∈ N.
3 Jakob Bernoulli (1654-1705) war Mathematiker und Physiker in Basel.