Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.7 Potenzreste 107
Satz über Modulreduktion
Es sei k ∈ N 1 und p ∈ P 3 . Die Zahl a ∈ Z ist genau dann quadratischer Rest
modulo 2 k , wenn a ≡ 1 ( mod 2 min {3, k}) gilt.
Genau dann stellt a einen quadratischen Rest modulo p k dar, wenn a quadratischer
Rest modulo p ist.
Beweis (direkt und vollständige Induktion, r1):
Es ist 1 2 ≡ 3 2 ≡ 5 2 ≡ 7 2 ≡ 1 (mod 8). Also sind die Zahlen a ∈ Z mit
a ≡ 1 (mod 8) die einzigen quadratischen Reste modulo 8. Aufgrund des Satzes
über Kongruenzvergröberung (Seite 91) gelten die entsprechenden Kongruenzbedingungen
auch modulo 2 und 4. Derselbe Satz liefert außerdem alle Schlüsse von
Potenzmoduln mit größeren Exponenten auf solche mit kleineren.
Für den Nachweis der entgegengesetzten Schlussrichtung mit vollständiger Induktion
sei q ∈ P, b : = 3 für q = 2, b : = 1 für q ∈ P 3 und M q,a : = {k ∈ N b ; a ist
quadratischer Rest modulo q k} , wobei a einen quadratischen Rest modulo q b
darstellt, womit sich zugleich der Induktionsanfang b ∈ M q,a ergibt. Ist m ∈
M q,a , so existiert ein x ∈ Z mit q ∤ x und x 2 ≡ a (mod q m ). Wir bestimmen ein
s ∈ Q derart, dass y : = x + s q m ∈ Z die Kongruenz y 2 ≡ a (mod q m+1 ) erfüllt.
Mit u : = x2 −a
q m
gilt zunächst
y 2 = (x + s q m ) 2 = x 2 + 2 x s q m + s 2 q 2m
= a + u q m + 2 x s q m + s 2 q 2m = a + (u + 2 x s) q m + s 2 q 2m .
Im Falle q ∈ P 3 ergibt der Satz über die lineare diophantische Gleichung (Seite 28)
mindestens ein Paar (s, t) ∈ Z 2 mit q t−2 x s = u. Wegen m ∈ N 1 ist 2 m ≥ m+1,
und es folgt y 2 = a + t q m+1 + s 2 q 2m ≡ a (mod q m+1 ) .
Für q = 2 setzen wir s : = u 2
x+1
und t : = u . Dann ist t ∈ Z, u + 2 x s = 2 t
2
und s 2 2 2m = u 2 2 2m−2 . Wegen m ∈ N 3 gilt 2 m − 2 ≥ m + 1, sodass sich hier
y 2 = a + t 2 m+1 + u 2 2 2m−2 ≡ a (mod 2 m+1 ) ergibt. Damit ist in beiden Fällen
m + 1 ∈ M q,a , und es folgt M q,a = N b .
Das folgende Symbol, das 1798 eingeführt wurde, ermöglicht gegenüber [9] eine
erheblich einfachere Darstellung der Ergebnisse über quadratische Reste und
Nichtreste. Wegen der obigen Reduktion sei im Rest dieses Abschnitts p ∈ P 3 .