Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

148 Darstellung als Summe von Quadraten 5.2
Also haben alle Formen einer Formenklasse dieselbe Determinante, und umgekehrt
lässt sich die Menge aller Formen mit einer festen Determinante als Vereinigung
von disjunkten Formenklassen darstellen.
Bezeichnet W F : = {n ∈ Z ; Es gibt (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Z 3 mit n = F (x 1 , x 2 , x 3 )} die
Wertemenge der Form F, so ist es für den Beweis des Dreiquadratesatzes entscheidend,
dass alle Formen einer Formenklasse dieselbe Wertemenge haben. Sind F
und G zueinander äquivalent, so folgt nämlich W G ⊆ W F aus G = F ◦ γ, und
die mit der Symmetrieeigenschaft der Äquivalenzrelation gewonnene Beziehung
F = G ◦ γ −1 ergibt W F ⊆ W G . Also ist W G = W F .
iv) Definition der Positiv-Definitheit und ein Definitheitskriterium
Für die “Reduktion” im nächsten Schritt ist es sinnvoll, nur Formen F mit
F (x 1 , x 2 , x 3 ) > 0 für alle (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Z 3 \ {(0, 0, 0)} zu betrachten. Diese
und nur diese Formen heißen positiv-definit . Wir zeigen, dass eine Form F mit
den Koeffizienten a ik genau dann positiv-definit ist, wenn die drei Bedingungen
(5.3) a 11 > 0, b : = a 11 a 22 − a 2 12 > 0 und ∆ : = det (a ik ) > 0
erfüllt sind. Durch einfache Rechnungen erhalten wir
(5.4) a 11 F (x 1 , x 2 , x 3 ) = (a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ) 2 + b x 2 2 + 2 c x 2 x 3 + d x 2 3
mit c : = a 11 a 23 − a 12 a 13 und d : = a 11 a 33 − a 2 13 sowie
(5.5) b ( b x 2 2 + 2 c x 2 x 3 + d x 2 3)
= (b x2 + c x 3 ) 2 + a 11 ∆ x 2 3.
Es sei zunächst F als positiv-definit vorausgesetzt. Wegen F (1, 0, 0) = a 11 ist
dann notwendig a 11 > 0. Aus (5.4) folgt F (−a 11 a 12 , a 2 11, 0) = a 11 b, sodass
b > 0 gelten muss, weil a 11 > 0 und x 2 = a 2 11 ≠ 0 ist. Mit (5.4) und (5.5)
erhalten wir F (a 11 a 12 c − a 11 a 13 b, −a 11 c, a 11 b) = a 2 11 b ∆. Wegen a 2 11 b > 0 und
x 3 = a 11 b ≠ 0 ergibt sich daraus ∆ > 0.
Ist (5.3) erfüllt, so können wir (5.4) und (5.5) zu
F (x 1 , x 2 , x 3 ) = 1
a 11
(a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ) 2 + 1
a 11 b (b x 2 + c x 3 ) 2 + ∆ b x2 3
zusammenfassen. Damit folgt W F ⊆ N, und es kann nur dann F (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0
sein, wenn x 3 = 0, b x 2 + c x 3 = 0 und a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = 0 gilt, d. h. wenn
x 3 = x 2 = x 1 = 0 ist.