Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

48 Primzahlen 3.1
Beweis (zwei Teile, zweite Aussage indirekt, r1):
a) Die Menge der Teiler ist endlich und besitzt wegen n > 1 mindestens zwei
Elemente. Aufgrund des Minimumsatzes (Seite 11) gilt die erste Aussage.
b) Aus d /∈ P würde folgen, dass es ein f ∈ N 2 gibt mit f < d und f | d. Mit dem
Satz über Teilbarkeitsregeln (Seite 18) ergäbe sich f | n im Widerspruch dazu, dass
d kleinster Teiler von n in N 2 ist.
Satz über die Primzahlmenge
Die Menge P ist unendlich.
Beweis (Idee von Euklid, ca. 300 v. Chr., vollständige Induktion, a1):
Es sei M : = {k ∈ N 1 ; card P ≥ k} . Mit 2 ∈ P gilt 1 ∈ M. Ist m ∈ M und sind
q 1 , . . . , q m paarweise verschiedene Primzahlen, so folgt, dass q m+1 : = kP (s m ) mit
s m : = q 1 · · · q m + 1 eine von q 1 , . . . , q m verschiedene Primzahl darstellt, weil s m
beim Teilen durch q 1 , . . . , q m jeweils den Rest 1 lässt. Damit ist card P ≥ m + 1,
d. h. m + 1 ∈ M. Also gilt M = N 1 , und wegen P ⊂ N 1 ergibt sich card P =
card N 1 .
Vorteile der vollständigen Induktion
In den meisten Lehrbüchern wird der Satz über die Primzahlmenge
indirekt bewiesen. Obwohl Euklid weder das Beweisprinzip der vollständigen
Induktion noch den Begriff “unendlich” kannte, formulierte er den Satz
(“Die Anzahl der Primzahlen ist größer als jede natürliche Zahl”) und seine
Begründung ganz im Sinne des obigen Beweises.
Auf Seite 40 wurde im Hinblick auf das Problemlösen der Vorteil konkreter
Satzformulierungen gegenüber reinen Existenzaussagen erwähnt. Bei
den Herleitungen liegt eine ähnliche Situation vor. Falls für einen zahlentheoretischen
Satz sowohl ein indirekter Beweis als auch ein Beweis mit
vollständiger Induktion möglich ist, liefert meistens der letztere die tiefere
Einsicht oder sogar weiterführende Aspekte. Im obigen Fall bietet es
sich zum Beispiel an, die durch q 1 : = 2 und q n+1 : = kP (q 1 · · · q n + 1) für
n ∈ N 1 rekursiv definierte Folge (q n ) n 1 , die wir “Euklid-Folge”nennen
wollen, zu betrachten: q 1 = 2, q 2 = 3, q 3 = 7, q 4 = 43, q 5 = 13, q 6 =
53, q 7 = 5, . . . , q 12 = 11, q 13 = 17, . . ..
1 Ist der Indexbereich einer Folge N 1 , so lassen wir in dem Folgensymbol diese Angabe weg.