Elementare Zahlentheorie und Problemlösen (11'') - Mathematik und ...

4.2 Restklassen 89
wobei die letzte Definition wieder unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten
a ist.
Satz über Restklassenringe
Die Menge der Restklassen modulo m zusammen mit den Verknüpfungen
+ : ( a, b ) ↦→ a + b und · : ( a, b ) ↦→ a · b, den neutralen Elementen 0 und 1
und der Inversenabbildung − : a ↦→ −a stellt einen kommutativen Ring mit
Einselement dar, der mit Z / m Z (gelesen: Z modulo mZ) bezeichnet wird
und der Restklassenring modulo m heißt.
Beweis (direkt, r1):
Aufgrund der Definitionen der Verknüpfungen, der neutralen Elemente und der
Inversenabbildung übertragen sich alle Grundeigenschaften des Ringes Z auf den
Restklassenring Z / m Z .
Im Mathematikunterricht werden manchmal zu diesen Restklassenringen isomorphe
(d. h. “strukturgleiche”) Ringe in der Form Z m : = (A m , ⊞ , ⊡ , 0, 1, ⊟ ) mit
eingeführt.
a ⊞ b : = mod (a + b, m),
a ⊡ b : = mod (a b, m) und
{
0, wenn a = 0,
⊟ a : =
m − a, wenn a ∈ A m \ {0} ,
Aus algebraischer Sicht gibt es zwei verschiedene Typen von Restklassenringen.
Zum Beispiel für m = 6 gilt 2 · 3 = 0, d.h. in Z / 6 Z ist 0 Produkt von zwei
Elementen, die von 0 verschieden sind. Das Gleiche gilt offenbar für alle m ∈
N 2 \ P, weil es zu diesen zerlegbaren Moduln Zahlen k, l ∈ N 2 mit m = k l gibt,
so dass also k · l = 0 erfüllt ist.
Im Falle eines Primzahlmoduls p liegt eine ganz andere Situation vor. Die Voraussetzungen
a · b = 0 und a ≠ 0 sind definitionsgemäß gleichbedeutend mit p | a b
und p ∤ a. Wegen ggT (p, a) = 1 ergibt der Produktteilersatz (Seite 23), dass p
Teiler von b sein muss, womit b = 0 folgt.
Diese “bessere” Eigenschaft der Ringe Z und Z / p Z für p ∈ P wird durch die
folgenden beiden Definitionen erfasst: